Test 1 |
Soit
un polynôme à coefficients réels : on suppose que
a toutes ses racines réelles (c'est-à-dire que si
est de degré
,
a
racines réelles), montrer qu’il en est de même pour le polynôme dérivé
.
On distinguera le cas où toutes les racines sont distinctes (simples) et on rappelle la propriété (cf le module sur les polynômes) que si
admet r pour racine d’ordre
,
admet
pour racine d’ordre
.
Montrer que le polynôme
a au plus
2 racines réelles si
est pair,
3 racines réelles si
est impair.
Soit
une fonction deux fois dérivable sur
, telle que :
.
On suppose que
n’est pas la fonction nulle.
Indiquer le sens de variation de
et
. Montrer qu’il existe un réel
tel que
.
En utilisant la formule des accroissements finis sur l’intervalle
, montrer que
quand
.
Montrer que l’équation
a une solution positive unique
. Situer
entre deux entiers consécutifs.
On considère la suite (un) définie par la donnée de
et par la relation de récurrence :
.
Montrer que cette suite est convergente et a pour limite
.
Calculer
avec une précision de 10-3 (on ne demande pas de calcul d’erreur).
Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.
Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.
A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.
Démonstration :
Supposons que
est de degré
, par hypothèse
a
racines réelles, on peut les nommer de sorte que
.
1pt
Si ces n racines sont distinctes, on a
, le théorème de Rolle appliqué au segment
montre l'existence d'un zéro yi de
à l'intérieur de ce segment.
a donc
racines réelles.
3pts
Si certaines de ces racines sont confondues (racines multiples), il y a deux cas:
si
l'argument précédent montre l'existence d'un zéro yi de
à l'intérieur du segment
,
1pt
si
, cela veut dire que xi est racine d'ordre
de
et donc racine d'ordre
de
', on pose alors
3pts
et
a (en comptant les multiplicités)
racines
Démonstration
Au polynôme
on associe la fonction polynomiale
, elle est deux fois continûment dérivable de dérivées
et
. 1pt
Si
est pair,
est positive ou nulle sur
, nulle en un seul point, donc
est strictement croissante (de
à
) et change de signe une fois et une seule : il existe un réel
tel que
est décroissante (strictement) sur
et croissante (strictement) sur
.
a donc 0, 1 ou 2 racines selon que
est positif, nul ou négatif.
Si
, il n’y a qu’une racine mais elle est double. 3pts
Si
est impair,
est positive (strictement) sur
et négative (strictement) sur
:
est décroissante (strictement) sur
et croissante (strictement) sur
.
a donc 0, 1 ou 2 racines selon que
est positif, nul ou négatif. Si
, il n’y a qu’une racine mais elle est double.
si
n’a pas de racine (ou en a une double) ,
est monotone (croissante de
à
) donc a une racine, 3pts
si
a deux racines, soit
et
on a le tableau de variation
et il y a au plus trois racines (exactement 3 si
et
si
).
Démonstration
Puisque leurs dérivées (
et
) sont positives ou nulles,
et
sont croissantes (au sens large).
Si
est la fonction nulle,
l'est aussi , ce qui est contraire à l'hypothèse,
donc il existe un réel
et un réel
tels que
.
1pt1/2
Comme
est croissante on en déduit que pour
.
D'après la formule des accroissements finis, si
, il existe
tel que
et
.
On en déduit que
quand
.
2pts1/2
Démonstration
1. Soit
la fonction
. La dérivée
vaut
. La fonction
est une fonction strictement croissante de
, négative en 1, positive en 2, elle s’annule donc en
tel que
.
est décroissante sur
, croissante ensuite.
2pts
Comme
et
puisque
,
qui est continue et strictement croissante sur
admet une racine et une seule entre 2 et 3. On la note
. Comme
, il n’y a pas de racine entre 0 et 2.
2pts
2. Soit
la fonction
. Elle est de classe C1 sur
, à image dans
et sa dérivée est
. Sur
, on a
donc
est contractante.
1pt1/2
La suite (un) définie par la donnée de
et par la relation de récurrence
est convergente vers l’unique réel positif
tel que
,
En effet on a
.
En prenant l’exponentielle (après multiplication par 2) :
.
1pt1/2
Comme il n’y a qu’une racine,
, on en déduit que
.
1pt
3. Prenons par exemple
et calculons les premiers termes de la suite.
On peut utiliser une calculette (peu commode pour une capture d’écran) ou un logiciel sur un ordinateur.
Exemple avec Maple :
>x:=3.001 :
> for i from 0 to 10 do
> print(i,x):x:=ln(1+x)/2+2 od:
0, 3.001
1, 2.693272165
2, 2.653256416
3, 2.647809470
4, 2.647063421
5, 2.646961151
6, 2.646947130
7, 2.646945208
8, 2.646944944
9, 2.646944908
10, 2.646944903
(on part de 3.001 en Maple pour forcer le passage en mode numérique, avec 3 il faudrait utiliser la commande " evalf ").
Donc L=2,646….(2,647 convient aussi)
2pts