Soit un polynôme à coefficients réels : on suppose que a toutes ses racines réelles (c'est-à-dire que si est de degré , a racines réelles), montrer qu’il en est de même pour le polynôme dérivé .

On distinguera le cas où toutes les racines sont distinctes (simples) et on rappelle la propriété (cf le module sur les polynômes) que si admet r pour racine d’ordre , admet pour racine d’ordre .

Montrer que le polynôme a au plus

• 2 racines réelles si est pair,

• 3 racines réelles si est impair.

Soit une fonction deux fois dérivable sur , telle que :

.

On suppose que n’est pas la fonction nulle.

1. Indiquer le sens de variation de et . Montrer qu’il existe un réel tel que .

2. En utilisant la formule des accroissements finis sur l’intervalle , montrer que quand .

1. Montrer que l’équation a une solution positive unique . Situer entre deux entiers consécutifs.

2. On considère la suite (un) définie par la donnée de et par la relation de récurrence :

   .

   Montrer que cette suite est convergente et a pour limite .

3. Calculer avec une précision de 10-3 (on ne demande pas de calcul d’erreur).

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Démonstration :

Supposons que est de degré , par hypothèse a racines réelles, on peut les nommer de sorte que .

1pt

1. Si ces n racines sont distinctes, on a

   , le théorème de Rolle appliqué au segment montre l'existence d'un zéro yi de à l'intérieur de ce segment.

   a donc racines réelles.

   3pts

2. Si certaines de ces racines sont confondues (racines multiples), il y a deux cas:

   • si

     l'argument précédent montre l'existence d'un zéro yi de à l'intérieur du segment ,

     1pt

   • si

     , cela veut dire que xi est racine d'ordre de et donc racine d'ordre de ', on pose alors

     3pts

   et a (en comptant les multiplicités) racines

Démonstration

Au polynôme on associe la fonction polynomiale , elle est deux fois continûment dérivable de dérivées et . 1pt

• Si est pair, est positive ou nulle sur , nulle en un seul point, donc est strictement croissante (de à ) et change de signe une fois et une seule : il existe un réel tel que est décroissante (strictement) sur et croissante (strictement) sur . a donc 0, 1 ou 2 racines selon que est positif, nul ou négatif.

  Si , il n’y a qu’une racine mais elle est double. 3pts

• Si est impair, est positive (strictement) sur et négative (strictement) sur : est décroissante (strictement) sur et croissante (strictement) sur . a donc 0, 1 ou 2 racines selon que est positif, nul ou négatif. Si , il n’y a qu’une racine mais elle est double.

• si n’a pas de racine (ou en a une double) , est monotone (croissante de à ) donc a une racine, 3pts

• si a deux racines, soit et on a le tableau de variation

et il y a au plus trois racines (exactement 3 si et si ).

Démonstration

1. Puisque leurs dérivées ( et ) sont positives ou nulles, et sont croissantes (au sens large).

   Si est la fonction nulle, l'est aussi , ce qui est contraire à l'hypothèse,

   donc il existe un réel et un réel tels que .

   1pt1/2

2. Comme est croissante on en déduit que pour .

   D'après la formule des accroissements finis, si , il existe tel que

   et .

   On en déduit que quand .

   2pts1/2

Démonstration

1. Soit la fonction . La dérivée vaut . La fonction est une fonction strictement croissante de , négative en 1, positive en 2, elle s’annule donc en tel que . est décroissante sur , croissante ensuite.

2pts

Comme et puisque , qui est continue et strictement croissante sur admet une racine et une seule entre 2 et 3. On la note . Comme , il n’y a pas de racine entre 0 et 2.

2pts

2. Soit la fonction . Elle est de classe C1 sur , à image dans et sa dérivée est . Sur , on a donc est contractante.

1pt1/2

La suite (un) définie par la donnée de et par la relation de récurrence est convergente vers l’unique réel positif tel que ,

En effet on a

.

En prenant l’exponentielle (après multiplication par 2) : .

1pt1/2

Comme il n’y a qu’une racine, , on en déduit que .

1pt

3. Prenons par exemple et calculons les premiers termes de la suite.

On peut utiliser une calculette (peu commode pour une capture d’écran) ou un logiciel sur un ordinateur.

Exemple avec Maple :

>x:=3.001 :

> for i from 0 to 10 do

> print(i,x):x:=ln(1+x)/2+2 od:

0, 3.001

1, 2.693272165

2, 2.653256416

3, 2.647809470

4, 2.647063421

5, 2.646961151

6, 2.646947130

7, 2.646945208

8, 2.646944944

9, 2.646944908

10, 2.646944903

(on part de 3.001 en Maple pour forcer le passage en mode numérique, avec 3 il faudrait utiliser la commande " evalf ").

Donc L=2,646….(2,647 convient aussi)

2pts