On considère l’ensemble

1. Montrer que

2. Peut-on avoir l’égalité ?

1. Montrer que pour tout réel on a .

2. Montrer que pour tout réel appartenant à l’intervalle on a .

3. • En déduire que pour tout réel appartenant à l’intervalle on a .

   • Retrouver cette inégalité directement.

Soit un réel vérifiant et un réel quelconque. On considère la fonction  : dont on indiquera l’ensemble de définition. Montrer que pour tout appartenant à l’intervalle on a

1. Montrer que pour tout réel l’on a

   

2. En déduire la limite de la suite de terme général .

Soit un entier positif fixé, on considère une fonction de classe Cn sur , et vérifiant

Montrer que l’on a

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Démonstration

1. D’après la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 en 1/2, il existe deux réels et dans tels que

   

   1pt1/2

   soit

   

   ce qui en ajoutant donne la formule demandée.

   1pt1/2

2. On peut bien sûr avoir l’égalité, il suffit que , ce qui est forcément le cas si la dérivée seconde est constante, de valeur 1 (c’est-à-dire si est un polynôme du second degré dont le coefficient de vaut ).

   2pts

Démonstration

1. Considérons la fonction  : . Elle est deux fois dérivable de dérivées et . La dérivée seconde est positive ou nulle, avec des zéros isolés, donc est strictement croissante, elle s’annule en 0, donc elle est négative avant et positive après. On en déduit que a un minimum (absolu) en 0 ; comme , on en déduit l’inégalité demandée.

   3pts

   Remarque : la fonction cosinus est de classe Cn sur et on pourrait avoir envie d'appliquer la formule de Taylor-Lagrange à un ordre bien choisi mais on a des problèmes avec le signe du reste.

2. Pour , l'inégalité est vérifiée.

   Soit maintenant . Comme ,la fonction racine carrée est de classe C2 sur . On peut donc appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre et . Il existe donc tel que

   

   c'est-à-dire, puisque, pour tout , et , tel que

   .

   2pts

3. • On écrit l’inégalité précédente pour x2 (qui est aussi dans ),

     

     on la multiplie par –1 (ce qui renverse l'inégalité)

     

     et on ajoute (membre à membre) l'inégalité du 1. pour obtenir l'inégalité demandée :

     

   • Pour tout donc , et puisque on a .

     2pts

Démonstration

est définie si est positif donc si et elle est dérivable (à tout ordre) pour .

La dérivée -ième en 0 vaut .

2pts

L'application est indéfiniment dérivable sur et pour tout , .

Pour tout entier , on peut donc appliquer la formule de Taylor-Lagrange à à l'ordre entre et . Il existe donc tel que :

,

c'est-à-dire tel que : .

2pts

dès que donc la suite

est bornée, et comme xn+1 tend vers 0, le " terme complémentaire " tend vers 0,

d’où .

3pts

Remarque : le résultat est encore vrai pour mais cela ne se déduit pas immédiatement de la formule de Taylor-Lagrange.

Démonstration

1. Soit . La fonction est deux fois continûment dérivable sur . On peut donc lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre 0 et . Il existe alors tel que

   ,

   c'est-à-dire tel que

   

   2pts

2. Pour étudier la suite, on étudie son logarithme. Pour on a alors

   d'où l'on déduit

   

   qui compte tenu des égalités (classiques) , devient

   .

   3pts

   est encadré par deux quantités qui tendent vers 1/2, d'après le lemme des gendarmes, il en est de même pour et un tend vers .

   2pts

Démonstration

Soit un réel positif et , appliquant la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre en , il existe dans , tel que

2pts

Divisant par :

étant donné, choisissons tel que pour tout : (ce qui est possible d’après l’hypothèse),

2pts

Lorsque tend vers , les premiers termes tendent vers 0, de sorte qu'il existe (que l'on peut supposer supérieur à ) tel que pour tout ,

Il s'ensuit que pour tout , .

Cela montre que

3pts

Remarque : on ne peut se contenter d’appliquer la formule de Taylor en 0 car alors on ne sait pas a priori que tend vers l’infini et on ne peut pas appliquer l’hypothèse