Test 2 |
On considère l’ensemble
Montrer que
Peut-on avoir l’égalité ?
Montrer que pour tout réel
on a
.
Montrer que pour tout réel
appartenant à l’intervalle
on a
.
En déduire que pour tout réel
appartenant à l’intervalle
on a
.
Retrouver cette inégalité directement.
Soit
un réel vérifiant
et
un réel quelconque. On considère la fonction
:
dont on indiquera l’ensemble de définition. Montrer que pour tout
appartenant à l’intervalle
on a
Montrer que pour tout réel
l’on a
En déduire la limite de la suite de terme général
.
Soit
un entier positif fixé, on considère une fonction
de classe Cn sur
, et vérifiant
Montrer que l’on a
Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.
Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.
A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.
Démonstration
D’après la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 en 1/2, il existe deux réels
et
dans
tels que
1pt1/2
soit
ce qui en ajoutant donne la formule demandée.
1pt1/2
On peut bien sûr avoir l’égalité, il suffit que
, ce qui est forcément le cas si la dérivée seconde est constante, de valeur 1 (c’est-à-dire si
est un polynôme du second degré dont le coefficient de
vaut
).
2pts
Démonstration
Considérons la fonction
:
. Elle est deux fois dérivable de dérivées
et
. La dérivée seconde est positive ou nulle, avec des zéros isolés, donc
est strictement croissante, elle s’annule en 0, donc elle est négative avant et positive après. On en déduit que
a un minimum (absolu) en 0 ; comme
, on en déduit l’inégalité demandée.
3pts
Remarque : la fonction cosinus est de classe Cn sur
et on pourrait avoir envie d'appliquer la formule de Taylor-Lagrange à un ordre
bien choisi mais on a des problèmes avec le signe du reste.
Pour
, l'inégalité
est vérifiée.
Soit maintenant
. Comme
,la fonction racine carrée
est de classe C2 sur
. On peut donc appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre
et
. Il existe donc
tel que
c'est-à-dire, puisque, pour tout
,
et
, tel que
.
2pts
On écrit l’inégalité précédente pour x2 (qui est aussi dans
),
on la multiplie par –1 (ce qui renverse l'inégalité)
et on ajoute (membre à membre) l'inégalité du 1. pour obtenir l'inégalité demandée :
Pour tout
donc
, et puisque
on a
.
2pts
Démonstration
est définie si
est positif donc si
et elle est dérivable (à tout ordre) pour
.
La dérivée
-ième en 0 vaut
.
2pts
L'application
est indéfiniment dérivable sur
et pour tout
,
.
Pour tout entier
, on peut donc appliquer la formule de Taylor-Lagrange à
à l'ordre
entre
et
. Il existe donc
tel que :
,
c'est-à-dire tel que :
.
2pts
dès que
donc la suite
est bornée, et comme xn+1 tend vers 0, le " terme complémentaire " tend vers 0,
d’où
.
3pts
Remarque : le résultat est encore vrai pour
mais cela ne se déduit pas immédiatement de la formule de Taylor-Lagrange.
Démonstration
Soit
. La fonction
est deux fois continûment dérivable sur
. On peut donc lui appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre 0 et
. Il existe alors
tel que
,
c'est-à-dire tel que
2pts
Pour étudier la suite, on étudie son logarithme. Pour
on a alors
d'où l'on déduit
qui compte tenu des égalités (classiques)
, devient
.
3pts
est encadré par deux quantités qui tendent vers 1/2, d'après le lemme des gendarmes, il en est de même pour
et un tend vers
.
2pts
Démonstration
Soit
un réel positif et
, appliquant la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre
en
, il existe
dans
, tel que
2pts
Divisant par
:
étant donné, choisissons
tel que pour tout
:
(ce qui est possible d’après l’hypothèse),
2pts
Lorsque
tend vers
, les
premiers termes tendent vers 0, de sorte qu'il existe
(que l'on peut supposer supérieur à
) tel que pour tout
,
Il s'ensuit que pour tout
,
.
Cela montre que
3pts
Remarque : on ne peut se contenter d’appliquer la formule de Taylor en 0 car alors on ne sait pas a priori que
tend vers l’infini et on ne peut pas appliquer l’hypothèse