Formule de Taylor - Lagrange
Durée : 10 mn
Note maximale : 7
Question
Soit \(r\) un réel vérifiant \(0<r<1\) et \(s\) un réel quelconque. On considère la fonction \(f\) : \(x\mapsto(1+x)^s\) dont on indiquera l’ensemble de définition. Montrer que pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([0,r]\) on a
\((1+x)^s=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\sum_{k=1}^n\frac{s(s-1)...(s-k+1)}{k !}x^k\right)}\)
Solution
Démonstration
\(f\) est définie si \(1+x\) est positif donc si \(x\ge-1\) et elle est dérivable (à tout ordre) pour \(x>-1\).
La dérivée \(k\)-ième en 0 vaut \(s(s-1)…(s-k+1)\).
2pts
L'application \(f\) est indéfiniment dérivable sur \([0,r]\) et pour tout \(k\ge 1\), \(f^{(k)}(t)=s(s-1)\cdots(s-k+1)(1+t)^{s-k}\).
Pour tout entier \(n\), on peut donc appliquer la formule de Taylor-Lagrange à \(f\) à l'ordre \(n+1\) entre \(a=0\) et \(b=x\). Il existe donc \(c\in~]0,x[\) tel que :
\(\displaystyle{f(x)=f(0)+\sum_{k=1}^n\frac{x^k}{k!}f^{(k)}(0)+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)}\),
c'est-à-dire tel que : \((1+x)^s=1+\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{s(s-1)...(s-k+1)}{k!}x^k+\frac{s(s-1)...(s-n)}{(n+1)!}\frac{x^{n+1}}{(1+c)^{n+1-s}}}\).
2pts
\(\left|\frac{s-k}{k+1}\right|\le1\)
dès que \(s<2k+1\) donc la suite
\(\left(\left|\frac{s(s-1)...(s-k)}{(k+1) !}\right|\right)_{k\in\mathbb N}\)
est bornée, et comme xn+1 tend vers 0, le " terme complémentaire " tend vers 0,
d’où \((1+x)^s=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\sum_{k=1}^n\frac{s(s-1)...(s-k+1)}{k !}x^k\right)}\).
3pts
Remarque : le résultat est encore vrai pour \(–1<x<0\) mais cela ne se déduit pas immédiatement de la formule de Taylor-Lagrange.