Théorème et inégalité des accroissements finis. Formule de Taylor-Lagrange (TAF)

Démonstration

1. Considérons la fonction \(f\) : \(x\mapsto \cos x-1+\frac{x^2}{2}\). Elle est deux fois dérivable de dérivées \(f'(x)=-\sin(x)+x\) et \(f''(x)=-\cos(x)+1\). La dérivée seconde est positive ou nulle, avec des zéros isolés, donc \(f'\) est strictement croissante, elle s’annule en 0, donc elle est négative avant et positive après. On en déduit que \(f\) a un minimum (absolu) en 0 ; comme \(f(0)=0\), on en déduit l’inégalité demandée.

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   Remarque : la fonction cosinus est de classe Cⁿ sur \(\mathbb R\) et on pourrait avoir envie d'appliquer la formule de Taylor-Lagrange à un ordre \(n\) bien choisi mais on a des problèmes avec le signe du reste.

2. Pour \(x=1\), l'inégalité \(\sqrt{1-x} \le 1 - \frac x2\) est vérifiée.

   Soit maintenant \(x\in[0,1[\). Comme \(1-x>0\),la fonction racine carrée \(t\mapsto R(t)=\sqrt t\) est de classe C² sur \([1-x, +\infty[\). On peut donc appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre \(a=1\) et \(b=1-x\). Il existe donc \(C\in]1-x,1[\) tel que

   \(R(1-x)=R(1)+(1-x-1)R'(1)+\frac{(1-x-1)²}{2}R''(c)\)

   c'est-à-dire, puisque, pour tout \(t>0\), \(R'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}\) et \(R''(t)=\frac{1}{4t\sqrt{t}}\), tel que

   \(\sqrt{1-x}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8c\sqrt c}\le1-\frac{x}{2}\).

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3. • On écrit l’inégalité précédente pour x² (qui est aussi dans \([0,1]\)),

     \(\sqrt{1-x^2}\le1-\frac{x^2}{2}\)

     on la multiplie par –1 (ce qui renverse l'inégalité)

     \(-\sqrt{1-x}\le-\left(1-\frac x2\right)\)

     et on ajoute (membre à membre) l'inégalité du 1. pour obtenir l'inégalité demandée :

     \(\cos x-\sqrt{1-x^2}\ge0\)

   • Pour tout \(x\in[0,1], \cos(x)\ge0\) donc \(\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}\), et puisque \(\sin^2(x)\le x^2\) on a \(\sqrt{1-\sin^2(x)}\ge\sqrt{1-x^2}\).

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