Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Durée : 6 mn

Note maximale : 4

Question

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), telle que :

\(\forall x\in\mathbb R : f(x)\ge0, f'(x)\ge0, f''(x)\ge0\).

On suppose que \(f''\) n’est pas la fonction nulle.

  1. Indiquer le sens de variation de \(f\) et \(f’\). Montrer qu’il existe un réel \(r\) tel que \(f’(r) > 0\).

  2. En utilisant la formule des accroissements finis sur l’intervalle \([r,x],x>r\), montrer que \(f(x)\rightarrow+\infty\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

Solution

Démonstration

  1. Puisque leurs dérivées (\(f’\) et \(f''\)) sont positives ou nulles, \(f\) et \(f’\) sont croissantes (au sens large).

    Si \(f '\) est la fonction nulle, \(f ''\) l'est aussi , ce qui est contraire à l'hypothèse,

    donc il existe un réel \(r\) et un réel \(L\) tels que \(f'(r) >L> 0\).

    1pt1/2

  2. Comme \(f ’\) est croissante on en déduit que pour\( x>r, f’(x)>L\).

    D'après la formule des accroissements finis, si \(x>r\), il existe \(c\) tel que

    \(r<c<x\) et \(f(x)-f(r)=(x-r)f'(c) > (x-r)L\).

    On en déduit que \(f(x)\rightarrow+\infty\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

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