Fonction Arcsinus
Définition

Soit la restriction de la fonction sinus à l'intervalle

La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle

D'après le théorème dit " des fonctions réciproques " on peut affirmer que

et que établit une bijection de sur

La fonction réciproque de est appelée Arcsinus et notée C'est une bijection de l'intervalle sur l'intervalle

Pour tout de l'intervalle est donc l'unique élément de l'intervalle qui a pour sinus le réel

Remarque

la notation peut se lire : " y est l'arc (de l'intervalle dont le sinus vaut ".

Par définition

Exemple

car et

Attention

ou

Il y a une infinité de réels dont le sinus est égal à Mais parmi ces réels, seul appartient à l'intervalle

  • Conséquence de la définition

Remarque

L'expression n'est définie que pour appartenant à l'intervalle Par contre l'expression est définie pour tout réel mais l'égalité n'est vraie que pour appartenant à l'intervalle

Par exemple,

Propriété : 1

La fonction Arcsinus est continue et strictement croissante sur

C'est une conséquence directe du théorème des fonctions réciproques.

Propriété : 2

La fonction Arcsinus est une fonction impaire.

Démonstration

L'intervalle est centré en

Soit et on a alors et

La fonction sinus étant impaire, et

D'où

  • Graphe

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction Arcsinus est la courbe symétrique par rapport à la première bissectrice de la courbe représentative de la restriction de sinus à l'intervalle

  • Dérivée

La fonction est dérivable sur et La dérivée de ne s'annule pas sur la fonction Arcsinus est donc dérivable sur et

Calcul de  :

et comme et D'où

On a donc

Attention

La fonction Arcsinus est définie et continue sur l'intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert

Légende :
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