Fonction Arccosinus
Définition

Soit la restriction de la fonction cosinus à l'intervalle

La fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle

D'après le théorème dit " des fonctions réciproques " on peut affirmer que

et que établit une bijection de sur

La fonction réciproque de est appelée Arccosinus et notée C'est une bijection de l'intervalle sur l'intervalle

Pour tout de l'intervalle est donc l'unique élément de l'intervalle qui a pour cosinus le réel

Remarque

La notation peut se lire : est l'arc (de l'intervalle dont le cosinus vaut

Par définition

Exemple

car et

Il y a une infinité de réels dont le cosinus est égal à Mais parmi ces réels, seul appartient à l'intervalle

  • Conséquence de la définition

Remarque

L'expression n'est définie que pour x appartenant à l'intervalle Par contre l'expression est définie pour tout réel mais l'égalité n'est vraie que pour appartenant à l'intervalle

Par exemple,

Propriété

La fonction Arccosinus est continue et strictement décroissante sur

C'est une conséquence directe du théorème des fonctions réciproques.

  • Graphe

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction Arccosinus est la courbe symétrique par rapport à la première bissectrice de la courbe représentative de la restriction de cosinus à l'intervalle

  • Dérivée

La fonction est dérivable sur et

La dérivée de ne s'annule pas sur

la fonction Arccosinus est donc dérivable sur et

Calcul de :

et comme donc D'où

On a donc

Attention

La fonction Arccosinus est définie et continue sur l'intervalle fermé et dérivable sur l'intervalle ouvert

Légende :
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