Fonctions réciproques classiques
Le test comporte 3 questions :
Limite avec des puissances fractionnaires
Dérivée et graphe d'une fonction
Rechercher une solution
La durée indicative du test est de 28 minutes.
Commencer
Limite avec des puissances fractionnaires

Le but de l'exercice est de montrer l'existence et de calculer la limite :

On note

  1. Exprimer à l'aide de et puis montrer qu'il y a forme indéterminée quand tend vers

  2. Calculer les dérivées

  3. En déduire l'existence et la valeur de la limite cherchée.

Dérivée et graphe d'une fonction

Soit la fonction définie par :

  1. Déterminer le domaine de définition de puis étudier sa parité et sa périodicité.

  2. Simplifier l'expression de quand appartient à l'intervalle

  3. Construire le graphe de pour appartenant à l'intervalle

Rechercher une solution

On considère l'équation :

  1. Montrer que l'équation admet une solution réelle unique

  2. Pour des réels et tels que et n'appartiennent pas à l'ensemble des réels de la forme vérifier l'égalité suivante :

  3. Calculer

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Limite avec des puissances fractionnaires

1. (7 points) On remarque que

Donc

Les fonctions et sont continues au point d'où

On est donc en présence d'une forme indéterminée pour quand tend vers

2. (5 points) Les fonctions et sont dérivables :

Donc

3. (8 points) On transforme :

Or

De plus on peut appliquer le théorème sur l'existence de la limite d'un quotient :

Le quotient admet une limite au point et

D'où

Ainsi

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Dérivée et graphe d'une fonction

1. (3 pts)

La fonction sinus est définie sur et à valeurs dans or l'ensemble de définition de la fonction Arcsinus est précisément par conséquent la fonction est définie sur

Pour tout réel on a :

La fonction est donc impaire et périodique de période

2. (4 pts)

Première méthode : utilisation de la définition de la fonction Arcsinus.

La fonction Arcsinus est à valeurs dans

donc appartient à et

Or quand parcourt parcourt on est donc amené à étudier deux cas :

  • c'est-à-dire d'où

  • c'est-à-dire d'où

Deuxième méthode : utilisation de la dérivée.

La fonction est dérivable comme composée de fonctions dérivables, en tout point tel que et

Donc, dans l'intervalle est dérivable en tout point distinct de

Ce qui donne d'où étant une constante réelle que l'on détermine grâce à l'égalité

et d'où étant une constante réelle que l'on détermine grâce à l'égalité

Enfin

On retrouve donc le résultat :

3. (3 pts)

Pour construire le graphe de :

  • On construit le graphe pour appartenant à l'intervalle en utilisant les résultats de la question 2..

  • On complète le dessin pour les valeurs de appartenant à l'intervalle en utilisant la symétrie par rapport à l'origine est impaire).

  • Enfin, connaissant le graphe de sur un intervalle d'amplitude une période, on obtient le reste du graphe par des translations successives de vecteur ou

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Rechercher une solution

1. (4 pts)

La fonction est une fonction bijective de sur

Donc l'équation admet une solution et une seule si et seulement si le réel appartient à l'intervalle

De plus la fonction est une fonction strictement croissante sur

Comme et on obtient, en posant et

les inégalités : et donc

De plus comme et on a aussi

Ceci entraîne les inégalités :

Le réel appartient bien à l'intervalle

Donc il existe un unique réel tel que :

2. (2 pts)

Si et ne sont pas de la forme on peut définir et

On a bien l'égalité

3. (4 pts)

Pour tout réel on a l'égalité Donc

Ceci entraîne, avec les notations et :

Comme et appartiennent à l'intervalle les conditions de la question 2. sont bien vérifiées, on obtient donc

Or et comme on obtient

De même

Ceci entraîne, tous calculs faits :

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/40
Seuil critique :28
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :28 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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