Limite avec des puissances fractionnaires

Durée : 8 mn

Note maximale : 20

Question

Le but de l'exercice est de montrer l'existence et de calculer la limite : \(\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{27}}{x^{\frac{4}{3}}-9^{\frac{2}{3}}}.\)

On note \(\forall x \in \mathbb R^+\smallsetminus \{3\}~~q(x)=\frac{x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{27}}{x^{\frac{4}{3}}-9^{\frac{2}{3}}},~~\forall x \in \mathbb R^+~~f(x)=x^{\frac{3}{2}},~~g(x)=x\frac{4}{3}.\)

  1. Exprimer \(q(x)\) à l'aide de \(f(x)\) et \(g(x)\) puis montrer qu'il y a forme indéterminée quand \(x\) tend vers \(3.\)

  2. Calculer les dérivées \(f'(3),g'(3).\)

  3. En déduire l'existence et la valeur de la limite cherchée.

Solution

1. (7 points) On remarque que \(\sqrt{27}=(3^3)^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}},~~9^{\frac{2}{3}}=(3^2)^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{4}{3}}.\)

Donc \(\color{blue} \forall x \in \mathbb R^+ \smallsetminus \{3\}~~q(x)=\frac{f(x)-f(3)}{g(x)-g(3)}.\)

Les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues au point \(3,\) d'où \(\lim_{x\rightarrow 3}[f(x) - f(3)] = 0,~~\lim_{x\rightarrow3}[g(x)-g(3)]=0.\)

On est donc en présence d'une forme indéterminée pour \(q(x)\) quand \(x\) tend vers \(3.\)

2. (5 points) Les fonctions \(f\) et \(g\) sont dérivables : \(\forall x \in \mathbb R^+~~f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}},~~g'(x)=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}.\)

Donc \(\color{blue} f'(3) \color {black} = \frac{3}{2}3^{\frac{1}{2}}= \color{blue}\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2} \color{black},~~\color{blue}g'(x)\color{black}=\frac{4}{3}3^{\frac{1}{3}}=\color{blue}\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}\color{black}.\)

3. (8 points) On transforme \(q(x)\) : \(\forall x \in \mathbb R^+ \smallsetminus \{3\}~~q(x)=\frac{\frac{f(x)-f(3)}{x-3}}{\frac{g(x)-g(3)}{x-3}}.\)

Or \(\lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f'(3),~~\lim_{x\rightarrow 3}\frac{g(x) - g(3)}{x-3}=g'(3).\)

De plus \(g'(3) \neq 0,\) on peut appliquer le théorème sur l'existence de la limite d'un quotient :

Le quotient \(q(x)\) admet une limite au point \(3\) et \(\lim_{x\rightarrow3}q(x)=\frac{f'(3)}{g'(3)}.\)

D'où \(\lim_{x\rightarrow 3}q(x) = \frac{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}}{\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}} = \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2} \times \frac{3^{\frac{2}{3}}}{4}= \frac{3^{\frac{3}{2} + \frac{2}{3}}}{2\times4} = \frac{3^{\frac{13}{6}}}{8}.\)

Ainsi \(\color{blue}\textrm{la limite cherchée existe}~~\color{black}\textrm{et}~~\color{blue}\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{27}}{x^{\frac{4}{3}}-9^{\frac{2}{3}}} = \frac{3^{\frac{13}{6}}}{8} = \frac{9}{8} 3^{\frac{1}{6}}\color{black}.\)