Exercice n°3
Partie
Question
Trouver toutes les paires d'entiers positifs \((a , b)\) tels que :
\(\textrm {pgcd} (a , b) = 35 \quad \textrm {ppcm} (a , b) = 1260\)
Rappel de cours
Voir la page Plus petit commun multiple (ppcm)
Solution détaillée
\(a = 35 a'\)
\(b = 35 b'\)
\(\textrm {ppcm} (a , b) = 35 a' b'\)
Condition de possibilité : 35 divise 1260.
\(1260 = 35 \times 36\)
Donc a' b' = 36.
Quelles sont les décompositions de 36 en facteurs ?
\(36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 = 1 \times 36\)
Les seules décompositions en facteurs premiers entre eux sont :
(1 , 36) et (4 , 9).
A l'ordre près on a donc :
\(a = 35 \quad b = 1260\)
ou
\(a = 1260 \quad b = 35\)
\(a = 140 \quad b = 315\)
ou
\(a = 315 \quad b = 140\)