Existence du produit de deux matrices ; matrices dont le produit est nul

Partie

Soit la matrice réelle \(A\) définie par \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}-1&2\\-2&4\\1&-2\end{array}\right)}\)

Question

On considère la matrice B définie par \(\displaystyle{B=\left(\begin{array}{c c c}1&0&-2\\3&-1&0\\2&3&-2\\0&0&0\end{array}\right)}\)

Peut-on calculer le produit \(AB\) ? Peut-on calculer le produit \(BA\) ?

Dans l'affirmative, calculer ce (ou ces) produit(s).

Aide simple

Le produit \(XY\) de deux matrices ne peut être défini que si le nombre de colonnes de la matrice \(X\) est égal au nombre de lignes de la matrice \(Y\) ; donc si \(X\) appartient à \(M_{p,q}(R)\) et \(Y\) à \(M_{s,r}(R)\), le produit \(XY\) n'est possible que si \(q\) est égal à \(s\) et dans ce cas le produit \(XY\) appartient à \(M_{p,r}(R)\).

Le \(O\) de \(M_{p,r}(R)\) est la matrice à \(p\) lignes et \(r\) colonnes dont tous les coefficients sont nuls.

Aide à la lecture

On veut calculer des produits de matrices dont l'une est de type \((3,2)\)(elle a 3 lignes et 2 colonnes) et l'autre de type \((4,3)\).

Aide méthodologique

Si \(X\) est une matrice à \(p\) lignes et \(q\) colonnes, \(X=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le p\\1\le j\le{q}\end{array}}\) et si \(Y\) est une matrice à \(q\) lignes et \(r\) colonnes, \(Y=\Bigg(b_{k,l}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le k\le{q}\\1\le l\le r\end{array}}\), le coefficient \(c_{i,l}\) de la matrice \(XY\), situé à la \(i-\textrm{ième}\) ligne et la \(l-\textrm{ième}\) colonne est obtenu à partir de la \(i-\textrm{ième}\) ligne de \(X\) et de la \(l-\textrm{ième}\) colonne de \(Y\) de la manière suivante : \(c_{i,l}=a_{i,1}b_{1,l}+a_{i,2}b_{2,l}+...+a_{i,j}b_{j,l}+...+a_{i,q}b_{q,l}\)

Solution détaillée

Le produit \(XY\) de deux matrices ne peut être défini que si le nombre de colonnes de la matrice \(X\) est égal au nombre de lignes de la matrice \(Y\).

Donc ici, seul le produit \(BA\) est possible et comme la matrice \(B\) appartient à \(M_{4,3}(R)\) et que la matrice \(A\) appartient à \(M_{3,2}(R)\), la matrice \(BA\) appartient à \(M_{4,2}(R)\).

On obtient : \(\displaystyle{BA=\left(\begin{array}{c c c}1&0&-2\\3&-1&0\\2&3&-2\\0&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}-1&2\\-2&4\\1&-2\end{array}\right)}\)

\(\displaystyle{BA=\left(\begin{array}{ccccccccccc}1\times(-1)+&0&\times(-2)+&(-2)&\times1&&1\times2+&0&\times4+&(-2)&\times(-2)\\3\times(-1)+&(-1)&\times(-2)+&0&\times1&&3\times2+&(-1)&\times4+&0&\times(-2)\\2\times(-1)+&3&\times(-2)+&(-2)&\times1&&2\times2+&3&\times4+&(-2)&\times(-2)\\0\times(-1)+&0&\times(-2)+&0&\times1&&0\times2+&0&\times4+&0&\times(-2)\end{array}\right)}\)

d'où \(\displaystyle{BA=\left(\begin{array}{c c c}-3&6\\-1&2\\-10&20\\0&0\end{array}\right)}\)

Question

Déterminer l'ensemble \(F\) des matrices carrées réelles \(C\) qui vérifient : \(AC=0\)

Aide simple

Le produit \(XY\) de deux matrices ne peut être défini que si le nombre de colonnes de la matrice \(X\) est égal au nombre de lignes de la matrice \(Y\) ; donc si \(X\) appartient à \(M_{p,q}(R)\) et \(Y\) à \(M_{s,r}(R)\), le produit \(XY\) n'est possible que si \(q\) est égal à \(s\) et dans ce cas le produit \(XY\) appartient à \(M_{p,r}(R)\).

Le \(O\) de \(M_{p,r}(R)\) est la matrice à \(p\) lignes et \(r\) colonnes dont tous les coefficients sont nuls.

Aide à la lecture

On veut que les matrices cherchées soient carrées.

Aide méthodologique

Si \(X\) est une matrice à \(p\) lignes et \(q\) colonnes, \(X=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le p\\1\le j\le{q}\end{array}}\) et si \(Y\) est une matrice à \(q\) lignes et \(r\) colonnes, \(Y=\Bigg(b_{k,l}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le k\le{q}\\1\le l\le r\end{array}}\), le coefficient \(c_{i,l}\) de la matrice \(XY\), situé à la \(i-\textrm{ième}\) ligne et la \(l-\textrm{ième}\) colonne est obtenu à partir de la \(i-\textrm{ième}\) ligne de \(X\) et de la \(l-\textrm{ième}\) colonne de \(Y\) de la manière suivante : \(c_{i,l}=a_{i,1}b_{1,l}+a_{i,2}b_{2,l}+...+a_{i,j}b_{j,l}+...+a_{i,q}b_{q,l}\)

Solution détaillée

Une matrice \(C\) vérifiant \(AC=0\) doit avoir deux lignes pour que le produit de \(A\) par \(C\) soit possible ; de plus on cherche les matrices carrées \(C\) vérifiant \(AC=0\). Donc on cherche \(C\) appartenant à \(M_2(R)\) et comme \(A\) appartient à \(M_{3,2}(R)\), le produit \(AC\) appartient à \(M_{3,2}(R)\).

On cherche alors \(C\) sous la forme vérifiant \(\displaystyle{C=\left(\begin{array}{c c c}a&b\\c&d\end{array}\right)}\) vérifiant \(AC=0\).

Or \(\displaystyle{AC=\left(\begin{array}{c c c}-1&2\\-2&4\\1&-2\end{array}\right)}\displaystyle{\left(\begin{array}{c c c}a&b\\c&d\end{array}\right)}=\displaystyle{\left(\begin{array}{c c c}-a+2c&-b+2d\\-2a+4c&-2b+4d\\a-2c&b-2d\end{array}\right)}\).

Donc \(AC=0\) si et seulement si les six coefficients de la matrice \(AC\) sont nuls, donc si et seulement si les réels \(a, b, c,\) et \(d\) vérifient le système \(\displaystyle(S){\left\{\begin{array}{c c c}a-2c=0\\b-2d=0\end{array}\right.}\).

Donc l'ensemble \(F\) des matrices carrées réelles \(C\) qui vérifient : \(AC=0\) est égal à l'ensemble des matrices de la forme \(\displaystyle{\left(\begin{array}{c c c}2c&2d\\c&d\end{array}\right)}\), où \(c\) et \(d\) sont des réels quelconques.