Propriétés du produit d'une matrice et de sa transposée

Partie

Question

On considère la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}2&-1&4\\3&1&-1\end{array}\right)}\) et sa transposée \(\quad^tA\).

Calculer les matrices \(B=^tAA\) et \(C=A^tA\).

De quel(s) type(s) sont les matrices \(B\) et \(C\) ?

Calculer \(\quad^tB\) et \(\quad^tC\). Que remarque-t-on ?

Aide à la lecture

La transposée d'une matrice \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le p\\1\le j\le{q}\end{array}}\) est la matrice \(\quad^tA=\Bigg(b_{k,l}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le k\le{q}\\1\le l\le p\end{array}}\), telle que \(b_{r,s}=a_{s,r}\forall(r,s)\in\{1,...,q\}\times\{1,...,p\}\), c'est-à-dire \(\quad^tA\) est la matrice dont la \(r\)-ième ligne est égale à la \(r\)-ième colonne de \(A\).

Si \(A\) appartient à \(M_{p,q}(K)\), alors \(\quad^tA\) appartient à \(M_{q,p}(K)\), les deux produits \(A^tA\) et \(\quad^tAA\) sont possibles.

On dit qu'une matrice est de type \((p,q)\) si elle a \(p\) lignes et \(q\) colonnes.

Si \(p=q=n\), on dit que la matrice est d'ordre \(n\).

Solution détaillée

La matrice \(\quad^tA\) est la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}2&3\\-1&1\\4&-1\end{array}\right)}\)

On obtient donc \(\displaystyle{B=^tAA=\left(\begin{array}{c c c}2&3\\-1&1\\4&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}2&-1&4\\3&1&-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}13&1&5\\1&2&-5\\5&-5&17\end{array}\right)}\) et \(\displaystyle{C=A^tA=\left(\begin{array}{c c c}2&-1&4\\3&1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}2&3\\-1&1\\4&-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}21&1\\1&11\end{array}\right)}\)

La matrice \(B\) est une matrice carrée d'ordre 3, la matrice \(C\) est une matrice carrée d'ordre 2. Quand on calcule \(\quad^tB\) et \(\quad^tC\), on obtient \(\quad^tB=B\) et \(\quad^tC=C\).

On remarque que les deux matrices \(B\) et \(C\) sont toutes deux des matrices carrées mais qu'elles n'ont pas le même ordre; de plus chacune de ces matrices est égale à sa transposée. On dit que ces matrices sont des matrices symétriques : les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux deux à deux.

Question

On dit qu'une matrice carrée est symétrique si elle est égale à sa transposée.

Montrer que, quelle que soit la matrice \(A\) appartenant à \(M_{p,q}(K)\)(\(K\) étant le corps \(Q, R\) ou \(C\)), les deux matrices \(A^tA\) et \(\quad^tAA\) sont des matrices carrées symétriques.

Aide à la lecture

La transposée d'une matrice \(A=\Bigg(a_{i,j}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le i\le p\\1\le j\le{q}\end{array}}\) est la matrice \(\quad^tA=\Bigg(b_{k,l}\Bigg)_{\begin{array}{cccccc}1\le k\le{q}\\1\le l\le p\end{array}}\), telle que \(b_{r,s}=a_{s,r}\forall(r,s)\in\{1,...,q\}\times\{1,...,p\}\), c'est-à-dire \(\quad^tA\) est la matrice dont la \(r\)-ième ligne est égale à la \(r\)-ième colonne de \(A\).

Si \(A\) appartient à \(M_{p,q}(K)\), alors \(\quad^tA\) appartient à \(M_{q,p}(K)\), les deux produits \(A^tA\) et \(\quad^tAA\) sont possibles.

On dit qu'une matrice est de type \((p,q)\) si elle a \(p\) lignes et \(q\) colonnes.

Si \(p=q=n\), on dit que la matrice est d'ordre \(n\).

Aide méthodologique

Transposée d'un produit de matrice :

Soient \(A\in M_{n,p}(K),B\in M_{p,q}(K)\) deux matrices.

Alors les produits \(AB\),\(\quad^tB^tA\) ont un sens et on a l'égalité dans \(M_{q,n}(K)\)

\(\quad^t(AB)=^tB^tA\)

Propriété immédiate de transposée d'une matrice :

Si \(A\) est une matrice élément de \(M_{n,p}(K),^t(^tA)=A\).

Solution détaillée

Soit \(A\) une matrice appartenant à \(M_{p,q}(K)\) ; alors la matrice \(\quad^tA\) est une matrice appartenant à \(M_{q,p}(K)\) ; donc le produit \(A^tA\) est une matrice carrée d'ordre \(p\) tandis que le produit \(\quad^tAA\) est une matrice carrée d'ordre \(q\).

On a de plus, pour deux matrices \(X\) et \(Y\) dont le produit \(XY\) est possible, la propriété \(\quad^t(XY)=^tY^tX\).

Ceci entraîne \(\quad^t(A^tA)=^t(^tA)^tA\); d'après la propriété \(\quad^t(^tA)=A\), on obtient : \(\quad^t(A^tA)=A^tA\) et de même \(\quad^t(^tAA)=^tA^t(^tA)=^tAA\).

Les matrices \(A^tA\) et \(\quad^tAA\) sont bien des matrices carrées symétriques.