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Propriétés des traces d'une somme et d'un produit de matrices

Enoncé global

Soit une matrice carrée d'ordre . On définit la trace de , qu'on note , comme la somme des éléments diagonaux de , c'est-à-dire :

la matrice A étant définie par ,

Question n°1

Montrer que si et sont des matrices carrées d'ordre , et si est un scalaire, alors on a les égalités : et

Question n°2

Montrer que si et sont des matrices carrées d'ordre 3, on a l'égalité :

Question n°3

Déduire des questions précédentes qu'il n'existe pas de matrices carrées et d'ordre 3 vérifiant l'équation , où I désigne la matrice unité .

Légende :
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