Résumé : Action sur une matrice du produit par des matrices élémentaires

On a une description complète des transformations élémentaires sur les matrices en termes de produit de matrices soit par une matrice élémentaire, d'un côté ou de l'autre, soit par un produit de quatre matrices élémentaires (égale à une matrice d'échange).

Il faut noter que les transformations élémentaires sur les colonnes d'une matrice à lignes et colonnes proviennent du produit à droite de cette matrice par des matrices élémentaires d'ordre et que celles sur les lignes proviennent du produit à gauche de cette matrice par des matrices élémentaires d'ordre .

Plus précisément, on a les résultats suivants :

Soit deux entiers supérieurs ou égaux à . Soit . On note (respectivement ) les colonnes (respectivement les lignes) de la matrice .

Transformation sur les colonnes

Soient i et j deux entiers distincts compris entre et et un élément quelconque de .

On considère la matrice d'ordre , .

La matrice qui a les mêmes colonnes que sauf éventuellement la j-ième qui est égale à , est la matrice .

Soient i un entier compris entre et et un élément non nul de . On considère la matrice d'ordre , .

La matrice qui a les mêmes colonnes que sauf éventuellement la i-ième qui est égale à est est la matrice .

Définition : Définition des matrices élémentaires

Soit un entier supérieur ou égal à . Soient deux entiers distincts , compris entre , et un élément de .

  • On définit la matrice par

Les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à , se trouve à la i-ième ligne et j-ième colonne et tous les autres éléments sont nuls.

  • Soit un élément non nul de .

    On définit la matrice diagonale par :

se trouve à la i-ième ligne et i-ième colonne, tous les autres éléments de la diagonale principale sont égaux à .

Soient et deux entiers distincts compris entre et . On considère la matrice , d'ordre p.

Alors la matrice obtenue à partir de en échangeant les colonnes i et j de est égale à .

Description des matrices Delta i,j

C'est une matrice symétrique et elle vérifie, pour tout et entiers compris entre et , l'égalité

De plus on a démontré la formule

. Les matrices élémentaires intervenant dans cette formule ont le même ordre que .

Transformations sur les lignes

Soient et deux entiers distincts compris entre et et un élément quelconque de .

On considère la matrice d'ordre , .

La matrice qui a les mêmes lignes que sauf éventuellement la i-ième qui est égale à est la matrice .

Soient un entier compris entre et , un élément non nul de . On considère la matrice d'ordre , .

La matrice qui a les mêmes lignes que sauf éventuellement la i-ième qui est égale à est est la matrice

Soient i et j deux entiers distincts compris entre et et la matrice d'ordre , .

Alors la matrice obtenue à partir de en échangeant les lignes i et j de est égale à

Légende :
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