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Recherche des matrices qui commutent avec toutes les matrice de M2(K)

Enoncé global

On sait que le produit des matrices n'est pas une opération commutative dans , mais il existe des matrices qui commutent avec toutes les autres comme , la matrice identité, et 0, la matrice nulle.

Le but de cet exercice est de déterminer l'ensemble des matrices qui commutent avec toutes les matrices de .

Question n°1

On considère les matrices : , , ,

Montrer que est élément de si et seulement si commute avec ces quatre matrices.

Question n°2

En remarquant que et que , montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que soit élément de est que commute avec les matrices et .

Question n°3

Déduire de la question précédente une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients pour que appartienne à . Quelle est la forme générale des matrices de ?

Légende :
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