Cas d'une matrice carrée d'ordre 3

Partie

On considère la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\-1&1&1\\1&0&1\end{array}\right)}\)\(a\) désigne un réel quelconque.

On désigne par \(I\) la matrice unité \(\displaystyle{I=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)}\), et \(O\) la matrice nulle.

Question

Vérifier que \((A-I)^3=0\).

Aide simple

Pour tout entier strictement positif \(n\), on a l'égalité : \(A^n=(B+I)^n\).

Les matrices \(B\) et \(I\) commutent, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton.

Aide méthodologique

Déterminer la matrice \(B=A-I\), calculer \(B^2\), puis \(B^3\).

Exprimer \(A\) en fonction de \(B\) et de \(I\).

Utiliser le binôme de Newton

Formule du binôme de Newton dans \(M_n(K)\)

Calcul de \((A+B)^m\) lorsque \(AB=BA\)

Soient deux éléments \(A\) et \(B\) de \(M_n(K)\) qui commutent c'est-à-dire tels que \(AB=BA\).

Alors, pour tout entier naturel \(m\) supérieur ou égal à 1, on a la formule \((A+B)^m=\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=m}}C^k_mA^{m-k}B^k\)\(C_m^k\) désigne le coefficient du binôme.

Solution détaillée

Soit \(\displaystyle{B=A-I=\left(\begin{array}{c c c}0&0&0\\-1&0&1\\1&0&0\end{array}\right)}\), on calcule \(B^2\), puis \(B^3\) : \(\displaystyle{B^2=\left(\begin{array}{c c c}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)}\), \(\displaystyle{B^3=\left(\begin{array}{c c c}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)}\)

La matrice \(B\) est donc nilpotente.

Question

Déterminer \(A^n\) pour tout \(n\) entier strictement positif.

Aide à la lecture

Le but de cet exercice est de calculer \(A^n\) en fonction de \(n\) ; une démarche classique est de calculer \(A^2\), \(A^3\) puis de raisonner par récurrence (comme dans l'exercice 1). Ici, la première question suggère une autre démarche...

Solution détaillée

La matrice \(A\) peut s'écrire : \(A=B+I\).

Donc \(A^n=(B+I)^n\), pour tout entier \(n\) non nul.

Les matrices \(B\) et \(I\) commutent, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton ; l'utilisation de cette formule est d'autant plus intéressante que, d'après la question précédente, les puissances de la matrice \(B\) sont nulles à partir de l'exposant 3.

\(A^n=(B+I)^n=I^n+C_n^1I^{n-1}B+C_n^2I^{n-2}B^2\), d'où : \(A^n=I+nB+\frac{n(n-1)}2B^2\).

En remplaçant \(B\) et \(B^2\) par leurs valeurs, on obtient : \(\forall n\in\mathbb N^* \displaystyle{A^n=I+nB+\frac{n(n-1)}2B²=\left(\begin{array}{c c c c}&1&0&0\\-n+&\frac{n(n-1)}2&1&n\\&n&0&1\end{array}\right)}\)

Remarque

La formule obtenue pour \(A^n\) montre, a posteriori, qu'ici le raisonnement par récurrence est inadapté.