Cas d'une matrice carrée d'ordre 3

Partie

Question

On considère la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)}\), calculer \(A^n\) pour tout \(n\) entier strictement positif.

Aide simple

\(\displaystyle{A^2=\left(\begin{array}{c c c}3&3&3\\3&3&3\\3&3&3\end{array}\right)=3A}\)

Aide méthodologique

Calculer \(A^2\), puis \(A^3\), deviner la formule générale, la démontrer par récurrence.

Aide à la lecture

La simplicité de la matrice \(A\) incite à faire un raisonnement par récurrence.

Solution détaillée

On calcule \(A^2\) : \(\displaystyle{A^2=\left(\begin{array}{c c c}3&3&3\\3&3&3\\3&3&3\end{array}\right)=3A}\) d'où \(A^3=A^2A=(3A)A=3A^2=3(3A)=3^2A\).

On constate que pour \(n\in\{1,2,3\}\), la formule suivante est vérifiée : \(A^n=3^{n-1}A\).

Pour démontrer que l'égalité précédente, \(P(n)\), est vraie pour tout entier naturel \(n\) non nul, on raisonne par récurrence : l'égalité \(P(1)\) est vraie.

Soit \(n\) un entier naturel non nul, si on suppose \(P(n)\) vraie, c'est-à-dire A^n=3^{n-1}A, alors on a : \(A^{n+1}=A^nA=(3^{n-1}A)A=3^{n-1}A^2=3^{n-1}(3A)=3^nA\).

L'égalité \(P(n+1)\) est donc vraie. Ce qui achève la démonstration par récurrence.

Conclusion : \(\forall n\in\mathbb N^{\ast}\quad\displaystyle{A^n=3^{n-1}A=\left(\begin{array}{c c c}3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\\3^{n-1}&3^{n-1}&3^{n-1}\end{array}\right)}\)