Sous-ensemble de M2(R)

Partie

Soient les matrices \(A=\left(\begin{array}{c c c}1&2\\-1&-1\end{array}\right)\) et \(I=\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right)\).

On considère l'ensemble \(E\) des matrices qui s'expriment sous la forme \(aI+bA\)\(a\) et \(b\) sont des réels.

Question

Calculer la matrice \(A^2\).

Aide à la lecture

Les matrices \(A\) et \(I\) sont des matrices carrées d'ordre deux, les matrices qui s'expriment sous la forme \(aI +bA\)\(a\) et \(b\) sont des réels sont donc des matrices carrées d'ordre deux. L'ensemble \(E\) est donc un sous-ensemble de \(M_2(R)\).

L'exercice porte sur des calculs d'expressions algébriques faisant intervenir des matrices de \(M_2(R)\).

Solution détaillée

\(A^2=\left(\begin{array}{c c c}-1&0\\0&-1\end{array}\right)\) donc \(A^2=I\).

Question

Montrer que le produit de deux matrices \(U\) et \(V\) de \(E\) est une matrice de \(E\) et vérifier que \(UV=VU\).

Aide à la lecture

Les matrices \(A\) et \(I\) sont des matrices carrées d'ordre deux, les matrices qui s'expriment sous la forme \(aI +bA\)\(a\) et \(b\) sont des réels sont donc des matrices carrées d'ordre deux. L'ensemble \(E\) est donc un sous-ensemble de \(M_2(R)\).

L'exercice porte sur des calculs d'expressions algébriques faisant intervenir des matrices de \(M_2(R)\).

Aide méthodologique

Pour les matrices \(U, V, UV\), utiliser l'équivalence suivante : une matrice \(M\) appartient à \(E\) si et seulement si il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(M=aI+bA\). Pour le calcul de \(UV\), utiliser la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans \(M_2(R)\).

Solution détaillée

Soit \(U=aI+bA\) et \(V=cI+dA\) deux matrices de E, a, b, c, d étant des nombres réels. Dans \(M_2(R)\) la multiplication est distributive par rapport à l'addition donc \(UV=(aI+bA)(cI+dA)=acI^2+bcAI+adIA+bdA^2\).

\(I^2=I, AI=IA=A, A^2=-I\) d'où \(UV=(ac-bd)I+(bc+ad)A\).

\(a, b, c, d\) étant des nombres réels, \(ac-bd\) et \(bc+ad\) sont des nombres réels. La matrice \(UV\) est donc une matrice de \(E\).

De même \(VU=(ca-db)I+(cb+da)A\). On a donc \(UV=VU\).

Question

Montrer que toute matrice \(U\) non nulle de \(E\) est inversible et que sa matrice inverse appartient à \(E\).

Aide à la lecture

Les matrices \(A\) et \(I\) sont des matrices carrées d'ordre deux, les matrices qui s'expriment sous la forme \(aI +bA\)\(a\) et \(b\) sont des réels sont donc des matrices carrées d'ordre deux. L'ensemble \(E\) est donc un sous-ensemble de \(M_2(R)\).

L'exercice porte sur des calculs d'expressions algébriques faisant intervenir des matrices de \(M_2(R)\).

Aide méthodologique

Soit \(U=aI+bA\), chercher une matrice \(V\) appartenant à \(E\) telle que revient à chercher 2 réels \(c\) et \(d\) tels que \((aI+bA)(cI+dA)=I\). De cette égalité déduire que \(c\) et \(d\) sont solutions d'un système, puis résoudre ce système.

Solution détaillée

Soit \(U=aI+bA\) une matrice non nulle de \(E\). On cherche s'il existe une matrice \(V\) de \(E\) telle que \(UV=VU=I\). D'après la question précédente on sait que deux matrices de \(E\) commutent, il suffit donc de chercher une matrice \(V\) de \(E\) telle que \(UV=I\). On cherche donc deux réels \(c\) et \(d\) tels que \((ac-bd)I+(bc+ad)A=I\)(1).

Pour que l'égalité (1) soit vérifiée il suffit que les quatre réels \(a, b, c\) et \(d\) vérifient \((S)\left\{\begin{array}{cccccc}ac-bd=1\\bc+ad=0\end{array}\right.\)

On pourrait montrer que cette condition est aussi nécessaire, mais cela n'est pas utile ici.

Autre justification utilisant la notion d'espace vectoriel

Les matrices \(I\) et \(A\) ne sont pas colinéaires (leurs coefficients ne sont pas proportionnels), elles sont donc linéairement indépendantes. On a donc : \((ac-bd)I+(bc+ad)A=I\Leftrightarrow(S)\left\{\begin{array}{cccccc}ac-bd=1\\bc+ad=0\end{array}\right.\)

La matrice \(U\) est donnée, donc les réels \(a\) et \(b\) sont donnés et on cherche la matrice \(V\), c'est-à-dire les réels \(c\) et \(d\). Le système \((S)\) est donc un système de 2 équations à 2 inconnues, les inconnues étant les réels \(c\) et \(d\).

Le déterminant du système est égal à \(a^2+b^2\). Il est différent de 0 car la matrice \(U\) étant non nulle, le couple \((a,b)\) est différent de (0, 0). Le système \((S)\) admet donc une solution unique. La matrice \(U\) est donc inversible et sa matrice inverse appartient à \(E\).

Cette matrice inverse est obtenue en résolvant le système.

Si \(a\ne0\quad(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}ac&-&bd&=&1\\&&d&=&-\frac{bc}a\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}(a+\frac{b^2}a)c=1\\d=-\frac{bc}a\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}c&=&\frac a{a^2+b^2}\\d&=&-\frac b{a^2+b^2}\end{array}\right.\)

Si \(a=0\) alors \(b\ne0\) car \((a,b)\ne(0,0)\quad(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}-bd=1\\bc=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}d&=&-\frac1b\\c&=&0\end{array}\right.\)

Les formules trouvées dans le cas \(a\ne0\) sont encore vraies dans le cas \(a=0\).

Pour tout couple \((a,b)\ne(0,0)\) le système \((S)\) admet donc pour solution le couple \(\left(\frac a{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)\) donc \(U^{-1}=\frac1{a^2+b^2}(aI-bA)\).