Matrices associées à la somme de deux applications linéaires et au produit d'une application linéaire par un scalaire
On sait que la somme de deux applications linéaires d'un \(\mathcal K\)-espace \(E\) dans un \(\mathcal K\)-espace vectoriel \(\mathcal F\) est encore une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\). Il en est de même pour le produit d'une application linéaire par un scalaire.
Dans le contexte où nous sommes, si les espaces vectoriels considérés sont de type fini, la question qui se pose immédiatement est la suivante :
Quelle est la matrice associée à une somme d'applications linéaires ou au produit d'une application linéaire par un scalaire ?
La proposition suivante donne la réponse à ces questions et permet ensuite d'avoir un théorème fondamental faisant le lien entre les espaces vectoriels \(\mathcal L(E,\mathcal F)\) et \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).
Propriété :
Soient \(E\) et\( \mathcal F\) deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps \(\mathbf K\). Soient \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) des bases de\( \mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) respectivement. Soient \(h\) et \(g\) deux applications linéaires de \(E\) dans \(\mathcal F\) et \(\alpha\) un scalaire quelconque. Alors on a :
\([h+g]_{B_E}^{B^F}=[h]_{B_E}^{B_F}+[g]_{B_E}^{B_F}\)
\([\alpha h]_{B_E}^{B_F}=\alpha[h]_{B_E}^{B_F}\)
Remarque :
Bien faire attention au choix des bases.
La matrice associée à la somme de deux applications linéaires est la somme des matrices à condition de considérer respectivement toujours la même base sur l'espace de départ et la même sur l'espace d'arrivée.
Les preuves de ces formules sont basées sur les définitions.
Preuve :
Soient \(p\) la dimension de\( E,\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_p)\) et \(n\) la dimension de \(\mathcal F\)
et \(\mathcal B_F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)\) . Soient \(\mathcal A=(a_{i,j})=[h]_{B_E}^{B_F}\) et \(\mathcal B=(b_{i,j})=[g]_{B_E}^{B_F}\) .
Cela signifie que, pour tout \(j\) compris entre\( 1\) et \(p\) on a les égalités :
\(\displaystyle{h(e_j)=\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,j}f_i\textrm{ et }g(e_j)=\sum_{i=1}^{i=n}b_{i,j}f_i }\)
d'où l'on déduit immédiatement l'égalité
\(\displaystyle{(h+g)(e_j)=\sum_{i=1}^{i=n}(a_{i,j}+b_{i,j})f_i}\).
Cela prouve, d'après la définition de la matrice associée à une application linéaire, des bases étant choisies, que le terme général de la matrice associée à\( h+g\) par rapport aux bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) est \(a_{i,j}+b_{i,j}\) qui est le terme général de la matrice \(\mathcal A+\mathcal B\).
La démonstration de la deuxième formule est tout à fait semblable.