Dimension de L(E,F)
La première conséquence de ce théorème est un résultat sur la dimension de \(\mathcal L(E,\mathcal F)\).
Théorème : Dimension de \mathcal L(E,\mathcal F)
Soient \(E\) et \(\mathcal F\) deux espaces vectoriels de type fini, dont les dimensions sont respectivement égale à \(p\) et\( n\).
Alors \(\mathcal L(E,\mathcal F)\) est de type fini et sa dimension est égale à \(n\times p\).
La preuve est simple et basée sur les trois propriétés suivantes :
Les espaces vectoriels \(\mathcal L(E,\mathcal F)\) et \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) sont isomorphes.
Si l'on a deux espaces vectoriels isomorphes et si l'un est de type fini, l'autre aussi et ils ont même dimension.
L'espace vectoriel\( \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) est de dimension \(n\times p\).