Matrice et applications linéaires

On a une application naturelle entre \(\mathcal L(E,\mathcal F)\) et \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) .

En effet, si \(p\) et \(n\) sont les dimensions de \(E \)et \(\mathcal F\) respectivement, on choisit une base de \(E\),

\(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_p)\) , et une base de \(\mathcal F,\mathcal B_F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)\) .

Alors, d'après le premier paragraphe,\(h\mapsto[h]_{B_E}^{B_F}\) est une application de \(\mathcal L(E,\mathcal F)\) dans \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).

La proposition précédente prouve que c'est une application linéaire de\( \mathcal L(E,\mathcal F)\) dans \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\); on la note \(\mathcal L\).

Il reste à démontrer que \(\mathcal L\) est une bijection.

L'outil essentiel pour ce qui suit est la propriété suivante :

une application linéaire définie sur un espace de type fini est déterminée de façon unique par les images des vecteurs d'une base

Soit \(h\) un élément de \(\mathcal L(E,\mathcal F)\) appartenant au noyau de \(\mathcal L\).

Cela signifie que \(\mathcal A=(a_{i, j})=[h]_{B_E}^{B_F}\) est la matrice nulle,

autrement dit que :

\(\forall(i,j)\in\{1,2,\cdots,n\}\times\{1,2,\cdots,p\},\quad a_{i,j}=0\)

Comme \(\displaystyle{\forall j\in\{1,2,\cdots,p\},h(e_j)=\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,j}f_i}\) on a \(\forall j=\{1,2,\cdots,p\},\quad h(e_j)=0\).

Donc, d'après la propriété rappelée ci-dessus, \(h\) est l'application linéaire nulle.

Ceci prouve que \(\mathcal L\) est injective.

Pour démontrer que \(\mathcal L\) est surjective, on considère une matrice \(\mathcal M=(m_{i,j})\) quelconque dans \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf)\).

La propriété rappelée ci-dessus permet de définir une application linéaire \(\phi\) de \(E\) dans \(\mathcal F\) par les \(p\) égalités :\( \displaystyle{\forall j\in\{1,2,\cdots,p\},\phi(e_j)=\sum_{k=1}^{k=n}m_{k,j}f_k}\).

La \(j\)-ième colonne de la matrice associée à \(\phi\) par rapport aux bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) est donc égale à \(\begin{array}{cccccc}m_{1,j}\\\vdots\\m_{n,j}\end{array}\); c'est la \(j\)-ième colonne de la matrice \(\mathcal M\). Donc la matrice associée à \(\phi\) par rapport aux bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) est égale à \(\mathcal M\), ce qui permet d'écrire \(\mathcal L(\phi)=\mathcal M\).