Théorème d'isomorphisme

On peut alors établir le théorème suivant :

Théorème : Théorème d'isomorphisme entre \mathcal L(E,\mathcal F) et \mathcal M_{\textrm{dimF,dimE}}(\mathbf K)

Soient et deux espaces vectoriels de type fini ; soit la dimension de et celle de .

Les espaces vectoriels et sont isomorphes.

Pour prouver ce théorème, on va construire effectivement un isomorphisme entre ces deux espaces vectoriels.

Démonstration

On a une application naturelle entre et .

En effet, si et sont les dimensions de et respectivement, on choisit une base de ,

, et une base de .

Alors, d'après le premier paragraphe, est une application de dans .

La proposition précédente prouve que c'est une application linéaire de dans ; on la note .

Il reste à démontrer que est une bijection.

L'outil essentiel pour ce qui suit est la propriété suivante :

une application linéaire définie sur un espace de type fini est déterminée de façon unique par les images des vecteurs d'une base

Soit un élément de appartenant au noyau de .

Cela signifie que est la matrice nulle,

autrement dit que :

Comme on a .

Donc, d'après la propriété rappelée ci-dessus, est l'application linéaire nulle.

Ceci prouve que est injective.

Pour démontrer que est surjective, on considère une matrice quelconque dans .

La propriété rappelée ci-dessus permet de définir une application linéaire de dans par les égalités : .

La -ième colonne de la matrice associée à par rapport aux bases et est donc égale à ; c'est la -ième colonne de la matrice . Donc la matrice associée à par rapport aux bases et est égale à , ce qui permet d'écrire .

Remarque

bien noter que l'isomorphisme qui vient d'être construit dépend des bases choisies sur et .

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