Matrice associée à un isomorphisme

Pour que la question ait un sens, il est nécessaire de se placer dans le cas d'une application linéaire entre deux espaces vectoriels de type fini, de même dimension.

Soit donc deux espaces vectoriels et de dimension  et un isomorphisme de dans . La théorie des applications linéaires permet de dire que est inversible et que son application réciproque est une application linéaire de dans . Cela peut se traduire par les égalités :

et

qui sont schématisés de la façon suivante :

Pour en donner une interprétation matricielle, on choisit des bases  et de  et respectivement. On a alors les schémas suivants :

d'où et

Compte tenu du théorème général que nous venons d'obtenir pour la matrice associée à la composée d'applications linéaires, cela donne les égalités matricielles suivantes :

et

Cela prouve que la matrice est inversible et que son inverse est la matrice .

Définition : Définition d'une matrice inversible

Soit une matrice carrée à lignes et colonnes. Elle est dite inversible s'il existe une matrice appartenant à telle que .

Définition : Unicité, en cas d'existence, d'une matrice \mathcal B vérifiant

Soit une matrice carrée à lignes et colonnes. S'il existe une matrice appartenant à telle que , elle est unique.

Définition : Définition de l'inverse d'une matrice inversible

Si est une matrice inversible, la matrice appartenant à telle que est appelée matrice inverse de et notée .

(Pour plus de détails, allez voir le cours complet sur les matrices carrées inversibles)

Légende :
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