Théorème : Caractérisation de la matrice d'un isomorphisme dans des bases choisies

On peut donc énoncer le théorème suivant

Théorème

Soient deux -espaces vectoriels de type fini, de même dimension.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un isomorphisme est que la matrice associée à par rapport à des bases et quelconques de et respectivement, soit inversible.

De plus, si est un isomorphisme de dans , et si , la matrice de par rapport aux bases et est égale à , inverse de la matrice . Cela s'écrit :

Remarque : Remarque 1

l'hypothèse et ont la même dimension" joue un rôle fondamental tout au long de la démonstration.

Remarque : Remarque 2

il faut noter que l'intérêt de ce résultat est double, puisque non seulement il donne le résultat qualitatif, et sont inversibles simultanément, mais aussi un résultat quantitatif puisqu'il donne explicitement l'expression de .

Légende :
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