Application à la détermination pratique du noyau d'une application linéaire
Le résultat général qui vient d'être obtenu conduit à une méthode très simple de calcul effectif du noyau d'une application linéaire dont on connaît la matrice par rapport à des bases choisies.
Soient \(E\) et \(\mathcal F\) deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps \(\mathbf K\) et une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\).
Soit \(p\) la dimension de \(E\) et\( \mathcal B_E\) une base de \(E\).
Soit \(n\) la dimension de \(\mathcal F\) et \(\mathcal B_F\) une base de \(\mathcal F\).
La matrice associée à \(\phi\) par rapport aux bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) est supposée connue ;
on la note \(\mathcal A\).
Un élément \(x \textrm{ de }E\) appartient au noyau de \(\phi\) si et seulement si \(\phi (x)=0\).
La traduction matricielle de cette égalité est alors (en gardant les notations précédentes) :
\(\mathcal{AX}=\mathcal O\)
Déterminer x revient donc à résoudre le système \(\mathcal{AX}=\mathcal O\), dont les inconnues sont les coordonnées\( x_i \textrm{ de }x\) sur la base \(\mathcal B_E\). C'est un problème pour lequel on a des méthodes algorithmiques, par exemple la méthode du Pivot de Gauss.
Exemple :
Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbf R^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf R^3\) est égale à :
\(\left(\begin{array}{cccccc}1&2&1\\2&3&2\\1&1&1\end{array}\right)\)
On se propose de déterminer son noyau. D'après ce qui précède, il suffit de résoudre l'équation matricielle \(\left(\begin{array}{cccccc}1&2&1\\2&3&2\\1&1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\end{array}\right)\) qui est équivalente au système :
\((\mathcal S)\quad\left\{\begin{array}{ccccccccc}x_1&+&2x_2&+&x_3&=&0\\2x_1&+&3x_2&+&2x_3&=&0\\x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\end{array}\right.\)
Le noyau de \(f\) est l'ensemble \(E_S\) des solutions de ce système.
On trouve
\(\displaystyle{\mathcal{Ker}f\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbf R^3/x_2=0,x_1+x_3=0\}=\{(t,0,-t),t\in\mathbf R\}}\)
.
Résolution du système
On utilise la méthode du pivot de Gauss.
\((\mathcal S)\quad\left\{\begin{array}{ccccccc}x_1&+&2x_2&+&x_3&=&0\\2x_1&+&3x_2&+&2x_3&=&0\\x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\end{array}\right.\)
\((\mathcal S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccccc}x_1&+&2x_2&+&x_3&=&0\\&&-x_2&&&=&0&\mathcal L_2\gets-2\mathcal L_1\\&&-x_2&&&=&0&\mathcal L_3\gets-\mathcal L_1\end{array}\right.\)
L'ensemble \(E_S\) des solutions du système (\(\mathcal S\)) est donc égal à
\(E_S=\{(t,0,-t),t\in\mathbf R\}\)