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Application à la détermination pratique du noyau d'une application linéaire

Le résultat général qui vient d'être obtenu conduit à une méthode très simple de calcul effectif du noyau d'une application linéaire dont on connaît la matrice par rapport à des bases choisies.

Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps et une application linéaire de dans .

Soit la dimension de et une base de .

Soit la dimension de et une base de .

La matrice associée à par rapport aux bases et est supposée connue ;

on la note .

Un élément appartient au noyau de si et seulement si .

La traduction matricielle de cette égalité est alors (en gardant les notations précédentes) :

Déterminer x revient donc à résoudre le système , dont les inconnues sont les coordonnées sur la base . C'est un problème pour lequel on a des méthodes algorithmiques, par exemple la méthode du Pivot de Gauss.

Exemple

Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est égale à :

On se propose de déterminer son noyau. D'après ce qui précède, il suffit de résoudre l'équation matricielle qui est équivalente au système :

Le noyau de est l'ensemble des solutions de ce système.

On trouve

.

Résolution du système

On utilise la méthode du pivot de Gauss.

L'ensemble des solutions du système ( ) est donc égal à

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