Applications immédiates
On garde les mêmes notations que dans le paragraphe précédent.
Deux situations peuvent se présenter :
On connaît la matrice \(\mathcal A\) :
Alors on pourra donner immédiatement une expression de \(\phi(x)\) en fonction des coordonnées de\( x\) sur la base de \(E\) choisie.
Exemple :
Soit l'application linéaire \(\phi\) de \(\mathbf R^3\) dans \(\mathbf R^4\) dont la matrice par rapport aux bases canoniques est égale à : \(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}0&1&-4\\3&1&-2\\-8&1&0\\5&0&0\end{array}\right)}\)
Alors on a d'après la relation \(\mathcal Y=\mathcal{AX}\)
\(\displaystyle{\forall(x_1,x_2,x_3)\in\mathbf R^3,\phi((x_1,x_2,x_3))=(x_2-4x_3,3x_1+x_2-2x_3,-8x_1+x_2,5x_1)}\)
On connaît l'expression explicite de \(\phi(x)\) en fonction des coordonnées de \(x\) sur la base de \(E\) choisie :
Exemple :
Soit l'application linéaire\( \phi\) de \(\mathbf R^2\) dans \(\mathbf R^3\) définie par :
\(\displaystyle{\forall(x_1,x_2)\in\mathbf R^2,\phi((x_1,x_2))=(x_2,3x_1+x_2,-2x_2)}\), soit \(\displaystyle{\forall(x_1,x_2)\in\mathbf R^2,\phi((x_1,x_2))=(0x_1+x_2,3x_1+x_2,0x_1-2x_2)}\)
La traduction matricielle de cette égalité sera donc du type
\(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}0x_1+x_2\\3x_1+x_2\\0x_1-2x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}\times&\times\\\times&\times\\\times&\times\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\end{array}\right)\textrm{ où }\left(\begin{array}{cccccc}\times&\times\\\times&\times\\\times&\times\end{array}\right)}\)
où désigne la matrice \(\mathcal A\) à déterminer.
Par simple lecture des lignes (en vertu de la règle de calcul du produit de deux matrices), on pourra déterminer la matrice \(\mathcal A\)
Donc la matrice de \(\phi\) dans les bases canoniques est égale à \(\left(\begin{array}{cccccc}0&1\\3&1\\0&-2\end{array}\right)\).
Utilisation dans le cas d'une puissance d'un endomorphisme
Soit \(E\) un espace de type fini. Soit \(p\) sa dimension et \(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_p)\) une base de \(E\). Soit \(\phi\) un endomorphisme de\( E \)et \(\mathcal A\) sa matrice par rapport à la base \(\mathcal B_E\).
Comme \(\phi\) est un endomorphisme, on peut, pour tout entier positif \(k\), considérer \(\phi^k\).
La matrice qui lui est associée dans la base \(\mathcal B_E\) est \(\mathcal A^k\).
Théorème :
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, de dimension égale à \(p\), et \(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_p)\)
une base de \(E\).
Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
Alors \(\forall k\in\mathbf N^*,[f^k]_{\mathcal B_E}=([f]_{\mathcal B_E})^k\).
Alors pour tout entier \(k\) non nul,
\(\displaystyle{y=\phi^k(x)\Leftrightarrow\mathcal Y=\mathcal A^k\mathcal X}\)
où \(\mathcal X\) (respectivement \(\mathcal Y\)) désigne la matrice colonne associée au vecteur \(x\) (respectivement \(y\)) dans la base \(\mathcal B_E\).