Ecriture matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire
Position du problème
Soient \(E\) et \(\mathcal F\) deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps \(\mathbf K\) et une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\). La question que l'on pose dans cette ressource est la suivante : si \(x\) est un élément de \(E\) et \(y\) son image par \(\phi\) , peut-on traduire l'égalité \(y=\phi(x)\) par une égalité matricielle ?
La première étape, naturelle, pour répondre à cette question, est de fixer des bases sur \(E\) et \(\mathcal F\), puis d'introduire la matrice associée à \(\phi\) dans ces bases, et d'exprimer \(x\) et \(y\) sur ces bases.
La deuxième consiste à introduire ces données dans la formule \(y=\phi(x)\).
Soit \(p\) la dimension de \(E\) et \(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_p)\) une base de \(E\). Soit \(n\) la dimension de \(\mathcal F\) et \(\mathcal B_F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)\) une base de \(\mathcal F\).
Soit \(\displaystyle{\mathcal A=(a_{i,j})_{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p\end{array}}}\) a matrice associée à \(\phi\) dans les bases\( \mathcal B_E \textrm{ et }\mathcal B_F\).
On a donc (*)\( \displaystyle{\forall j,1\leq j\leq p,\phi(e_j)=\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,j}f_i}\).
L'élément \(x\) de \(E\) s'écrit de manière unique sous la forme : \(\displaystyle{x=\sum_{j=1}^{j=p}x_je_j}\).
De même l'élément \(y=\phi(x)\) de \(\mathcal F\) s'écrit de manière unique sous la forme :\(\displaystyle{y=\sum_{i=1}^{i=p}y_if_i}\).
Les scalaires \(y_i\) peuvent s'exprimer en fonction des scalaires \(x_j\) de la manière suivante :
On a \(\displaystyle{y=\phi(x)=\phi(\sum_{j=1}^{j=p}x_je_j)=\sum_{j=1}^{j=p}x_j\phi(e_j)}\).
En utilisant les relations (*), on obtient
\(\displaystyle{y=\sum_{j=1}^{j=p}x_j\phi(e_j)=\sum_{j=1}^{j=p}x_j(\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,j}f_i}\)
et donc, grâce aux propriétés des opérations dans un espace vectoriel, \(\displaystyle{y=\sum_{i=1}^{i=n}(\sum_{j=1}^{j=p}a_{i,j}x_j})f_i\)
Exemple : Exemple de calcul :Pour mieux comprendre ce calcul, cliquez pour voir un exemple avec p=2 et n=3
On va expliciter le calcul qui prouve l'égalité
\(\displaystyle{\sum_{j=1}^{j=p}x_j(\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,j}f_i)=\sum_{i=1}^{i=n}(\sum_{j=1}^{j=p}a_{{i,j}}x_j})f_i\)
lorsque \(p=2\textrm{ et }n=3\).
Dans ce cas particulier, le premier membre de l'égalité précédente devient :
\(\displaystyle{\sum_{j=1}^{j=2}x_j(\sum_{i=1}^{i=3}a_{i,j}f_i)=x_1(a_{1,1}f_1+a_{2,1}f_2+a_{3,1}f_3)+x_2(a_{1,2}f_1+a_{2,2}f_2+a_{3,2}f_3)}\)
On va transformer cette expression en regroupant les termes de manière à mettre en évidence une combinaison linéaire de \(f_1,f_2\textrm{ et }f_3\).
Cela donne :
\(\displaystyle{\sum_{j=1}^{j=2}x_j(\sum_{i=1}^{i=3}a_{i,j}f_i)=(x_1a_{1,1}+x_2a_{1,2})f_1+(x_1a_{2,1}+x_2a_{2,2})f_2+(x_1a_{3,1}+x_2a_{3,2})f_3}\)
égalité qui peut encore être écrite
\(\displaystyle{\sum_{j=1}^{j=2}x_j(\sum_{i=1}^{i=3}a_{i,j}f_i)=\sum_{i=1}^{i=3}(\sum_{j=1}^{j=2}a_{i,j}x_j)f_i}\) .
Grâce à l'unicité de la décomposition de \(y\) sur la base \(\mathcal B_F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)\) de \(\mathcal F\),
on a \(\displaystyle{\forall i,1\leq i\leq n,y_i=\sum_{j=1}^{j=p}a_{i,j}x_j}\)
Remarque :
C'est ce qui permet de passer d'une situation abstraite (égalité vectorielle) à des problèmes concrets où l'on ne manipule plus que des nombres.
Ces égalités se traduisent alors par une égalité matricielle.
Au vecteur \(\displaystyle{x=\sum_{j=1}^{j=p}x_je_j}\) , on associe la matrice colonne à\( p\) lignes \(\mathcal X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\\vdots\\x_p\end{array}\right)\).
On dit que c'est la matrice associée à x par rapport à la base\( \mathcal B_E\).
De même, à \(\displaystyle{y=\sum_{i=1}^{i=n}y_if_i}\), on associe la matrice colonne à \(n\) lignes, \(\mathcal Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{array}\right)\), avec le même vocabulaire.
Alors, compte tenu de la définition du produit de deux matrices,
les égalités \(\displaystyle{\forall i,1\leq i\leq n,\quad y_i=\sum_{j=1}^{j=p}a_{i,j}x_j}\) sont équivalentes à l'égalité matricielle
\(\mathcal Y=\mathcal{AX}\) :