Composée d'applications linéaires
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(f\) l'application linéaire de \(R^3\) dans \(R^2\), définie par \(f((x,y,z))=(2x+y+z,y-z)\) et \(g\) celle de \(R^2\) dans \(R^3\) définie par \(g((u,v))=(u+v,u-v,v)\).
\(g\bigcirc f\) est-elle définie ?
Si oui, déterminer la matrice de \(g\bigcirc f\) relativement aux bases canoniques,
ainsi que l'image par \(g\bigcirc f\) d'un élément quelconque de l'espace de départ.
Solution
\(g\bigcirc f\) est définie car \(Im(f)\) est contenue dans \(R^2\) et \(g\) est définie sur \(R^2\).
\(g\bigcirc f\) est définie : c'est une application linéaire de \(R^3\) dans \(R^3\).
Sa matrice est \(\left[\begin{array}{c c c}1&1\\1&-1\\0&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{c c c}2&1&1\\0&1&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c}2&2&0\\2&0&2\\0&1&-1\end{array}\right]\)
Donc \(g\bigcirc f((x,y,z))=(2x+2y,2x+2z,y-z)\).