Puissances d'un endomorphisme
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(E\) un R-espace vectoriel de base \(\mathcal B=(i,j,k)\), on considère \(u\) l'endomorphisme de \(E\) associé à la matrice \(A\) dans la base \(\mathcal B\) avec \(A=[u]_\mathcal B=\left(\begin{array}{c c c}\frac{5}6&-\frac{1}6&-\frac{1}6\\-\frac{1}3&\frac{2}3&-\frac{1}3\\-\frac{1}2&-\frac{1}2&\frac{1}2\end{array}\right)\)
Calculer \(A^2\).
En déduire \(u^2\) puis \(u^n(n\in\mathbb N^*)\).
Solution
(6 pts)
On calcule le produit \(A^2=A\times A=\left(\begin{array}{c c c}\frac{5}6&-\frac{1}6&-\frac{1}6\\-\frac{1}3&\frac{2}3&-\frac{1}3\\-\frac{1}2&-\frac{1}2&\frac{1}2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c c c}\frac{5}6&-\frac{1}6&-\frac{1}6\\-\frac{1}3&\frac{2}3&-\frac{1}3\\-\frac{1}2&-\frac{1}2&\frac{1}2\end{array}\right)\)
Tout d'abord les coefficients de la première colonne :
\(\frac{5}6\times\frac{5}6+\left(-\frac{1}6\right)\left(-\frac{1}3\right)+\left(-\frac{1}6\right)\left(-\frac{1}2\right)=\frac{25+2+3}{6\times6}=\frac{30}{6\times6}=\frac{5}6\)
\(-\frac{1}3\times\frac{5}6+\left(\frac{2}3\right)\left(-\frac{1}3\right)+\left(-\frac{1}3\right)\left(-\frac{1}2\right)=\frac{-5-4+3}{3\times6}=\frac{-6}{3\times6}=-\frac{1}3\)
\(-\frac{1}2\times\frac{5}6+\left(-\frac{1}2\right)\left(-\frac{1}3\right)+\left(\frac{1}2\right)\left(-\frac{1}2\right)=\frac{-10+4-6}{4\times6}=\frac{-12}{4\times6}=-\frac{1}2\)
On reconnaît la première colonne de \(A\).
En poursuivant les calculs on obtient \(A^2=\left(\begin{array}{c c c}\frac{5}6&-\frac{1}6&-\frac{1}6\\-\frac{1}3&\frac{2}3&-\frac{1}3\\-\frac{1}2&-\frac{1}2&\frac{1}2\end{array}\right)=A\).
(4 pts)
La matrice \(A^2\) est la matrice dans la base \(\mathcal B\) de \(E\), de l'endomorphisme u^2,c'est à dire \(u\bigcirc u\).
De l'égalité matricielle \(A^2=A\) on tire l'égalité des endomorphismes \(u^2=u\).
Enfin, en utilisant un raisonnement simple par récurrence, on obtient \(\forall n\in\mathbb N^*\quad u^n=u\).