Matrice associée à une application linéaire de R^3 dans R^2

Partie

Soit \(\phi\) l'application linéaire du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb R^3\) dans le \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb R^2\) définie par

\(\phi((x,y,z))=(x+2y+z,x-2y+z)\).

Question

Déterminer la matrice \(A\) associée à \(\phi\) par rapport aux bases canoniques de \(\mathbb R^3\) et \(\mathbb R^2\).

Aide à la lecture

On recherche des matrices associées à la même application linéaire mais par rapport à des bases différentes à la fois dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée.

Aide méthodologique

La matrice associée à une application linéaire \(L\) par rapport à des bases données est formée à l'aide des images par \(L\) des vecteurs de la base de départ : les colonnes de la matrice sont données par les coordonnées de ces images sur les vecteurs de la base d'arrivée.

Solution détaillée

Soient \(E=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb R^3\) et \(U=(u_1,u_2)\) la base canonique de \(\mathbb R^2\).

La matrice \(A\) associée à \(\phi\), application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans \(\mathbb R^2\), est une matrice à trois colonnes et deux lignes.

La première colonne de la matrice \(A\) est formée des coordonnées de \(\phi(e_1)\) dans la base \(U\).

Or \(\phi(e_1)=\phi((1,0,0))=(1,1)=1u_1+1u_2\), donc la première colonne de la matrice \(A\) est \(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\).

On fait de même pour les autres vecteurs :

\(\phi(e_2)=\phi((0,1,0))=(2,-2)=2u_1-2u_2\),

\(\phi(e_3)=\phi((0,0,1))=(1,1)=1u_1+1u_2\),

la matrice cherchée est donc \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&-2&1\end{array}\right)\).

Question

Soient \(f_1=(1,0,-1)\), \(f_2=(1,1,0)\), \(f_3=(1,1,1)\), \(v_1=(1,1)\), \(v_2=(1,-1)\).

Vérifier que \(F=(f_1,f_2,f_3)\) est une base de \(\mathbb R^3\) et que \(V=(v_1,v_2)\) est une base de \(\mathbb R^2\).

Déterminer la matrice \(A'\) associée à \(\phi\) par rapport aux bases \(F\) et \(V\).

Aide simple

Par exemple \(\phi(f_2)=\phi((1,1,0))=(3,-1)\), il faut trouver \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\phi(f_2)=\alpha v_1+\beta v_2\), la première colonne de \(A'\) sera alors \(\begin{array}{c}\alpha\\\beta\end{array}\).

Aide à la lecture

On recherche des matrices associées à la même application linéaire mais par rapport à des bases différentes à la fois dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée.

Aide méthodologique

La matrice associée à une application linéaire \(L\) par rapport à des bases données est formée à l'aide des images par \(L\) des vecteurs de la base de départ : les colonnes de la matrice sont données par les coordonnées de ces images sur les vecteurs de la base d'arrivée.

Solution détaillée

Comme la partie \(\{f_1,f_2,f_3\}\) a trois éléments dans l'espace vectoriel \(\mathbb R^3\) de dimension 3, il suffit de vérifier qu'elle forme une famille libre pour qu'elle détermine une base de \(\mathbb R^3\).

On montre que \(\{f_1,f_2,f_3\}\) est une famille libre :

Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) trois réels tels que \(\alpha f_1+\beta f_2+\gamma f_3=0\).

Comme \(\alpha f_1+\beta f_2+\gamma f_3=(\alpha+\beta+\gamma,\beta+\gamma,-\alpha+\gamma)\), on résout le système :

\(\left\{\begin{array}{llll}\alpha&+\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+\gamma&=0\\-\alpha&&+\gamma&=0\end{array}\right.\) équivalent à \(\left\{\begin{array}{llll}\alpha&+\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+2\gamma&=0\end{array}\right.\) équivalent à \(\left\{\begin{array}{lllllll}\alpha&+\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+\gamma&=0\\&&\gamma&=0\end{array}\right.\)

La seule solution est bien \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

De même, puisque les vecteurs \(v_1,v_2\) forment une famille libre, \(V=(v_1,v_2)\) est une base de \(\mathbb R^2\).

Pour déterminer la matrice \(A'\) associée à \(\phi\) par rapport aux bases \(F\) et \(V\), il suffit d'expliciter les images par \(\phi\) de \(f_1,f_2,f_3\) dans la base \(V\) :

\(\phi(f_1)=\phi((1,0,-1))=(0,0)=0u_1+0u_2=0v_1+0v_2\),

\(\phi(f_2)=\phi((1,1,0))=(3,-1)=3u_1-u_2\) et

\(\phi(f_3)=\phi((1,1,1))=(4,0)=4u_1\).

Ensuite on cherche les coordonnées de \(\phi(f_2)\) et \(\phi(f_3)\) dans la base \(V=(v_1,v_2)\).

Il suffit de remarquer que \(\displaystyle{u_1=(1,0)=\frac{1}{2}(v_1+v_2)}\) et \(\displaystyle{u_2=(0,1)=\frac{1}{2}(v_1-v_2)}\),

alors : \(\phi(f_2)=v_1+2v_2\) et \(\phi(f_3)=2v_1+2v_2\).

D'où \(A'=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\0&2&2\end{array}\right)\).

Question

Trouver une base \(W\) de \(\mathbb R^2\) telle que la matrice associée à \(\phi\) par rapport aux bases \(F\) et \(W\) soit :

\(A''=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\).

Aide à la lecture

On fait une démarche inverse (par rapport aux deux questions précédentes) : trouver une base de l'espace d'arrivée, la base de départ étant celle intervenant dans la deuxième question.

Aide méthodologique

La matrice associée à une application linéaire \(L\) par rapport à des bases données est formée à l'aide des images par \(L\) des vecteurs de la base de départ : les colonnes de la matrice sont données par les coordonnées de ces images sur les vecteurs de la base d'arrivée.

Solution détaillée

On cherche une base \(W=(w_1,w_2)\) de \(\mathbb R^2\) telle que la matrice associée à \(\phi\) par rapport aux bases \(F\) et \(W\) soit : \(A''=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\).

Donc on veut trouver des vecteurs \(w_1\) et \(w_2\) de \(\mathbb R^2\) tels que \(\phi(f_1)=0w_1+0w_2\), \(\phi(f_2)=1w_1+0w_2\) et \(\phi(f_3)=0w_1+1w_2\).

La première égalité est toujours satisfaite puisque \(\phi(f_1)=(0,0)=0_{\mathbb R^2}\), donc les coordonnées de \(\phi(f_1)\) sur n'importe quelle base sont nulles.

Pour satisfaire les deux autres égalités, il suffit de choisir \(w_1=\phi(f_2)\) et \(w_2=\phi(f_3)\), après avoir remarqué que les vecteurs \(\phi(f_2)=(3,-1)\) et \(\phi(f_3)=(4,0)\) forment une famille libre de \(\mathbb R^2\), donc déterminent une base de \(\mathbb R^2\).

Donc en choisissant \(w_1=(3,-1)\) et \(w_2=(4,0)\), \(W=(w_1,w_2)\) est la base cherchée.