Endomorphisme de l'espace vectoriel des matrices d'ordre 2
Partie
On considère l'application \(\phi\) de l'espace vectoriel des matrices carrées réelles \(M_2(\mathbb R)\) dans lui-même définie par :
\(\begin{array}{llll}\phi :&M_2(\mathbb R)&\rightarrow&M_2(\mathbb R)\\&\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)&\mapsto&\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\end{array}\)
Question
Montrer que \(\phi\) est un endomorphisme de \(M_2(\mathbb R)\).
Aide à la lecture
Dans cet exercice, les matrices d'ordre 2 sont considérées en tant que vecteurs de l'espace vectoriel \(M_2(\mathbb R)\).
L'application \(\phi\) est définie sur cet espace vectoriel, on recherche sa matrice associée (qui sera donc de quel ordre ?)
Aide méthodologique
La matrice associée à une application linéaire \(L\) par rapport à des bases données est formée à l'aide des images par \(L\) des vecteurs de la base de départ : les colonnes de la matrice sont données par les coordonnées de ces images sur les vecteurs de la base d'arrivée.
Solution détaillée
L'application \(\phi\) est un endomorphisme de \(M_2(\mathbb R)\) si la relation suivante est vérifiée pour tout couple \((\alpha,\beta)\) de réels et tout couple \((M,M')\) de matrices :
\(\phi(\alpha M+\beta M')=\alpha\phi(M)+\beta\phi(M')\)
Soit \(M=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) et \(M'=\left(\begin{array}{cc}a'&b'\\c'&d'\end{array}\right)\).
Alors \(\alpha M+\beta M'=\left(\begin{array}{cc}\alpha a+\beta a'&\alpha b+\beta b'\\\alpha c+\beta c'&\alpha d+\beta d'\end{array}\right)\).
Donc \(\phi(\alpha M+\beta M')=\left(\begin{array}{cc}\alpha a+\beta a'&\alpha b+\beta b'\\\alpha c+\beta c'&\alpha d+\beta d'\end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{cc}a'&c'\\b'&d'\end{array}\right)\).
On a bien \(\phi(\alpha M+\beta M')=\alpha\phi(M)+\beta\phi(M')\).
Remarque :
On pouvait voir que l'image d'une matrice par \(\phi\) était la transposée de cette matrice et se servir des propriétés de la transposée : \(\quad^t(M+M')=^tM+^tM'\) et \(\quad^t(\alpha M)=\alpha^tM\).
Question
Déterminer la matrice de \(\phi\) relativement à la base canonique de \(M_2(\mathbb R)\).
Aide simple
La matrice d'un endomorphisme d'un espace vectoriel est une matrice carrée dont l'ordre est égal à la dimension de cet espace vectoriel.
Ici \(M_2(\mathbb R)\) est un espace vectoriel de dimension 4, de base \((E_1,E_2,E_3,E_4)\) où
\(E_1=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\), \(E_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\), \(E_3=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)\), \(E_4=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right)\)
Donc la matrice à cette question est une matrice d'ordre 4.
Aide à la lecture
Dans cet exercice, les matrices d'ordre 2 sont considérées en tant que vecteurs de l'espace vectoriel \(M_2(\mathbb R)\).
L'application \(\phi\) est définie sur cet espace vectoriel, on recherche sa matrice associée (qui sera donc de quel ordre ?)
Aide méthodologique
La matrice associée à une application linéaire \(L\) par rapport à des bases données est formée à l'aide des images par \(L\) des vecteurs de la base de départ : les colonnes de la matrice sont données par les coordonnées de ces images sur les vecteurs de la base d'arrivée.
Solution détaillée
Soit \(B=(E_1,E_2,E_3,E_4)\) la base canonique de \(M_2(\mathbb R)\).
On calcule les images par \(\phi\) des vecteurs de la base \(B\) :
\(\phi(E_1)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)=1E_1+0E_2+0E_3+0E_4\)
\(\phi(E_2)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)=0E_1+0E_2+1E_3+0E_4\)
\(\phi(E_3)=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)=0E_1+1E_2+0E_3+0E_4\)
\(\phi(E_4)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right)=0E_1+0E_2+0E_3+1E_4\)
On en déduit la matrice \(A\) de \(\phi\) dans la base \(B\) : \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\).