Conservation du rang par "opérations sur les colonnes"
Il est clair, compte tenu des propriétés des sous-espaces vectoriels, que
La matrice obtenue à partir de \(\mathcal A\) en intervertissant des colonnes a même rang que \(\mathcal A\).
La matrice obtenue à partir de \(\mathcal A\) en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres a même rang que\( \mathcal A\).
La matrice obtenue à partir de \(\mathcal A\) en remplaçant une colonne de \(\mathcal A\) par\( \alpha\) fois cette colonne où \(\alpha\) est un scalaire non nul a le même rang que \(\mathcal A\).
La justification est immédiate car aucune des "opérations" indiquées ne modifie le sous-espace engendré par les vecteurs colonnes de la matrice \(\mathcal A\).
Remarque :
Ce sont d'ailleurs les opérations de base de l'algorithme de détermination du rang d'une famille de vecteurs.
Il en résulte que les matrices obtenues par des transformations élémentaires sur les colonnes ont même rang que la matrice initiale. Or ces transformations élémentaires sur les colonnes peuvent être interprétées comme le résultat du produit à droite de la matrice par des matrices élémentaires.
D'où la propriété suivante :
Proposition : Conservation du rang par opérations sur les colonnes
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers supérieurs ou égaux à \(2\), et \(\mathcal M\) une matrice appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Alors les matrices \(\mathcal M\) et\( \mathcal{MP}\) où\( \mathcal P\) est un produit de matrices élémentaires d'ordre \(p\) ont le même rang.
Cette propriété peut permettre d'obtenir le rang d'une matrice en faisant des opérations élémentaires sur les colonnes.
Exemple :
Recherche du rang de la matrice
\(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&1&4\\1&3&0&1\\1&4&2&0\end{array}\right)\)
La première remarque qui peut être faite est que le rang de \(\mathcal A\) est inférieur ou égal à \(3\), puisque\( \mathcal A\) est une matrice de type \((3,4)\).
Faisons des transformations élémentaires sur les colonnes de manière à se ramener à une matrice pour laquelle la détermination du rang sera simple.
Les trois premiers vecteurs colonnes de \(\mathcal A_3\) sont linéairement indépendants. La matrice \(\mathcal A_3\) est de rang \(3\) et donc aussi la matrice \(\mathcal A\).