Problèmes de synthèse

L'application \(\phi\) est un endomorphisme de \(M_2(\mathbb R)\) si, pour tout couple de réels \((\alpha,\beta)\) et tout couple de matrices \((M,M')\), la relation suivante est vérifiée : \(\phi(\alpha M+\beta M')=\alpha \phi(M)+\beta \phi(M')\).

\(\begin{array}{ll}\phi(\alpha M+\beta M')&=A(\alpha M+\beta M')\\&=A(\alpha M)+A(\beta M')\\&=\alpha(A M)+\beta(A M')\\&=\alpha \phi(M)+\beta \phi(M')\end{array}\)

d'après les propriétés du produit des matrices entre elles et du comportement du produit des matrices par rapport au produit par un scalaire.

On fait de même pour \(\psi\)

On rappelle les propriétés de distributivité :

1. Soit \(A \in M_{n,p}(\mathbb K), B \in M_{n,p}(\mathbb K), C \in M_{p,q}(\mathbb K)\). Alors la somme \(A+B\) et les produits \((A+B)C, AC, BC\) ont un sens et on a l'égalité dans \(M_{n,q}(\mathbb K)\) : \((A+B)C=AC+BC\) appelée Distributivité à droite

2. Soit \(A \in M_{n,p}(\mathbb K), B \in M_{p,q}(\mathbb K), C \in M_{p,q}(\mathbb K)\). Alors la somme \(B+C\) et les produits \(AB, AC, A(B+C)\) ont un sens et on a l'égalité dans \(M_{n,q}(\mathbb K)\) : \(A(B+C)=AB+AC\) appelée Distributivité à gauche

On rappelle les propriétés de comportement du produit des matrices par rapport au produit par un scalaire :

1. Soit \(A \in M_{n,p}(\mathbb K), B \in M_{p,q}(\mathbb K)\) deux matrices et\(\lambda\) un scalaire. Alors les produits \(AB,(\lambda A)B, A(\lambda B)\) ont un sens et on a les égalités dans \(M_{n,q}(\mathbb K)\) : \((\lambda A)B= A(\lambda B)=\lambda(AB)\)

Soit \(\mathcal B=(E_1,E_2,E_3,E_4)\) la base canonique de \(M_2(\mathbb R)\)

On calcule les images par \(\phi\) des vecteurs de la base \(\mathcal B\) :

\(\phi(E_1)=AE_1=\left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3&0\\2&0\end{array}\right)=3E_1+0E_2+2E_3+0E_4\)

\(\phi(E_2)=AE_2=\left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&3\\0&2\end{array}\right)=0E_1+3E_2+0E_3+2E_4\)

\(\phi(E_3)=AE_3=\left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4&0\\3&0\end{array}\right)=4E_1+0E_2+3E_3+0E_4\)

\(\phi(E_4)=AE_4=\left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&4\\0&3\end{array}\right)=0E_1+4E_2+0E_3+3E_4\)

On en déduit la matrice \(\mathcal M\) de \(\phi\) dans la base canonique \(\mathcal B\) :

\(\mathcal M = \left(\begin{array}{cccc}3&0&4&0\\0&3&0&4\\2&0&3&0\\0&2&0&3\end{array}\right)\)

On fait de même pour \(\psi\) :

\(\psi(E_1)=E_1A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3&4\\0&0\end{array}\right)=3E_1+4E_2+0E_3+0E_4\)

\(\psi(E_2)=E_2A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2&3\\0&0\end{array}\right)=2E_1+3E_2+0E_3+E_4\)

\(\psi(E_3)=E_3A=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\3&4\end{array}\right)=0E_1+0E_2+3E_3+4E_4\)

\(\psi(E_4)=E_4A=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}3&4\\2&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\2&3\end{array}\right)=0E_1+0E_2+2E_3+3E_4\)

On en déduit la matrice \(\mathcal N\) de \(\psi\) dans la base canonique \(\mathcal B\) :

\(\mathcal N = \left(\begin{array}{cccc}3&2&0&0\\4&3&0&0\\0&0&3&2\\0&0&4&3\end{array}\right)\)

D'après la propriété "Matrices associées à la somme de deux applications linéaires et au produit d'une application linéaire par un scalaire", on a :

\(Mat_{\mathcal B}(\phi-\psi)=Mat_{\mathcal B}(\phi+(-\psi))=Mat_{\mathcal B}(\phi)+Mat_{\mathcal B}(-\psi)=Mat_{\mathcal B}(\phi)-Mat_{\mathcal B}(\psi)=\mathcal M - \mathcal N\)

donc la matrice de \(\phi-\psi\) est : \(Mat_{\mathcal B}(\phi-\psi)=\mathcal M-\mathcal N=\left(\begin{array}{cccc}0&-2&4&0\\-4&0&0&4\\2&0&0&-2\\0&2&-4&0\end{array}\right)\)

On rappelle la propriété "Matrices associées à la somme de deux applications linéaires et au produit d'une application linéaire par un scalaire" :

Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps \(K\). Soient \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) des bases de \(E\) et \(F\) respectivement. Soient \(h\) et \(g\) deux applications linéaires de \(E\) dans \(F\) et \(\alpha\) un scalaire quelconque. Alors on a :

1. \([h+g]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}=[h]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}+[g]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}\)

2. \([\alpha h]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}=\alpha [h]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}\)

Résultat acquis :

• La matrice associée à \(\phi-\psi\) relativement à la base canonique de \(M_2(\mathbb R)\) est \(Mat_{\mathcal B}(\phi-\psi)=\left(\begin{array}{cccc}0&-2&4&0\\-4&0&0&4\\2&0&0&-2\\0&2&-4&0\end{array}\right)\)

On remarque sur la matrice associée à \(\phi-\psi\) que le dernier vecteur colonne est l'opposé du premier, et que le troisième est égal à \((-2)\) fois le second.

Ces vecteurs colonnes correspondent aux coordonnées des vecteurs images par \(\phi-\psi\) des vecteurs de la base \(\mathcal B\).

Or \(Im(\phi-\psi)\)est engendré par ces vecteurs images, donc on a : \(Im(\phi-\psi)=Vect(\{(\phi-\psi)(E_1),(\phi-\psi)(E_2)\})\)

De plus les coordonnées des vecteurs \((\phi-\psi)(E_1)\) et \((\phi-\psi)(E_2)\) n'étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs forment une famille libre, donc déterminent une base de \(Im(\phi-\psi)\).

Donc une base de \(Im(\phi-\psi)\) est \((-4E_2+2E_3,-2E_1+2E_4)=\left(\left(\begin{array}{cc}0&-4\\2&0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-2&0\\0&2\end{array}\right)\right)\)

Plus simplement une base de \(Im(\phi-\psi)\) est \((2E_2-E_3,E_1-E_4)=\left(\left(\begin{array}{cc}0&2\\-1&0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\right)\),

d'où \(dim(Im(\phi-\psi))=2\).

Résultat acquis :

• La matrice associée à \(\phi-\psi\) relativement à la base canonique de \(M_2(\mathbb R)\) est \(Mat_{\mathcal B}(\phi-\psi)=\left(\begin{array}{cccc}0&-2&4&0\\-4&0&0&4\\2&0&0&-2\\0&2&-4&0\end{array}\right)\)

• \(dim(Im(\phi-\psi))=2\)

Le sous-ensemble \(F\) des matrices de\(M_2(\mathbb R)\) qui commutent avec A est : \(F=\{M\in M_2(\mathbb R), AM=MA\}=\{M\in M_2(\mathbb R), AM-MA=0\}\)

Donc \(F\) est le noyau de l'application linéaire \(\phi-\psi\), c'est donc un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\).

D'après le théorème du rang, sa dimension est : \(dim(Ker(\phi-\psi))=dim(M_2(\mathbb R))-dim(Im(\phi-\psi))=2\).

En "lisant" la matrice de \(\phi-\psi\), on remarque que \((\phi-\psi)(E_1)+(\phi-\psi)(E_4)=(\phi-\psi)(E_1+E_4)=0\)

donc le vecteur \(E_1+E_4\) appartient à \(F\), noyau de \(\phi-\psi\);

de même \(2(\phi-\psi)(E_2)+(\phi-\psi)(E_3)=(\phi-\psi)(2E_2+E_3)=0\)

donc le vecteur \(2E_2+E_3\) appartient aussi à \(F\).

Comme ces deux vecteurs forment un système libre de deux éléments dans \(F\) (de dimension 2), une base de \(F\) est .\((E_1+E_4,2E_2+E_3)=\left(\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0&2\\1&0\end{array}\right)\right)\)

Les éléments de \(F\) sont des combinaisons linéaires des vecteurs de sa base, donc les éléments de \(F\) sont les matrices de la forme \(a\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}0&2\\1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array}\right)\).