Définitions et propriétés

Soit \(f\) définie sur un voisinage pointé de 0, noté \(V^*(0)\). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en 0, si

1. il existe un polynôme \(P_n(x)\) de degré inférieur ou égal à \(n\) ;

2. il existe une fonction \(\epsilon\) définie sur \(V^*(0)\), vérifiant \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\), tels que :

   \(f(x)=P_n(x)+x^n\epsilon(x)\) ;

Comment peut-on reconnaître l'ordre d'un développement limité donné ? Ce n'est pas en regardant le degré du polynôme, car la connaissance de \(p\le n\) ne permet pas de connaître \(n\)... C'est en regardant l'exposant de \(x\) dans le reste \(x^n\epsilon(x)\) ; et c'est pour cela que l'écriture correcte du reste est essentielle. Par exemple \(2+3x-7x^3+x^5\epsilon(x)\) (il est sous-entendu que \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\)) est un développement limité à l'ordre 5 (et non pas à l'ordre 3).