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Lorsque de f est paire ou impaire ...

Le résultat suivant permet souvent de contrôler ses calculs et d'y déceler d'éventuelles erreurs.

Proposition : Proposition 2

Si est une fonction paire (resp. impaire) qui possède un développement limité à l'ordre en 0, alors la partie principale ne contient que des puissances paires (resp. impaires) de la variable .

Preuve

En effet, soit le développement limité de à l'ordre en 0 ; traitons le cas où est paire. Posons ; on a :

soit en notant et

, avec et ;

est donc le développement limité de à l'ordre en 0 ; mais comme on a aussi ; on actionne le théorème d'unicité : et donc le polynôme est pair.

Exercice : adapter la démonstration au cas d'une fonction impaire.

Légende :
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S'exercer
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