Restriction d'un développement limité
Soit \(P_n(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\) ;
pour tout \(0\le p\le n\) on note \([P_n]_p\) le polynôme \([P_n]_p(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_px^p\) , c'est à dire le polynôme obtenu en supprimant dans \(P_n(x)\) tous les termes de degré supérieur à \(p\) ; on dit parfois que l'on a tronqué \(P_n\) à l'ordre \(p\). Ce polynôme \([P_n]_p\) est appelé "restriction de \(P_n\) à l'ordre \(p\)" ou bien "polynôme \(P_n\) tronqué à l'ordre \(p\)."
Cette notion permet de diminuer l'ordre d'un développement limité donné.
Proposition : Proposition 1
Si \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(n\),
\(\displaystyle{f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k+x^n\epsilon(x)}\)
alors \(f\) admet un développement limité à tout ordre \(p\le n\),
\(\displaystyle{f(x)=\sum_{k=0}^pa_kx^k+x^p\epsilon_p(x)}\)
On dit que ce développement est obtenu en tronquant à l'ordre \(p\) le développement donné.
Preuve :
En effet, soit \(f(x)=P_n(x)+x^n\epsilon(x)\) (avec \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\)) un développement limité de \(f\) à l'ordre \(n\) en 0. On peut écrire :
\(\begin{array}{lll}f(x)&=&[P_n]_p(x)+x^p(a_{p+1}x+\cdots+a_nx^{n-p})+x^n\epsilon(x)\\&=&[P_n]_p(x)+x^p(a_{p+1}x+\cdots+a_nx^{n-p}+x^{n-p}\epsilon(x))\end{array}\)
Posons \(\epsilon_p(x) = a_{p+1}x+\cdots+a_nx^{n-p}+x^{n-p}\epsilon_p(x)\) ; comme \(\lim_{x \rightarrow0}\epsilon_p=0\), on a obtenu un développement limité à l'ordre \(p\) en 0.