ln(1+x)

Partie

Graphe de la fonction \(f(x)=\ln~(1+x)\)

On répondra, pour chaque énoncé, aux questions suivantes :

  1. Symétrie ou non du graphe. Intervalle de représentation.

  2. Graphes distincts ou non. Lien entre ces deux questions.

  3. Intervalle où le graphe du polynôme \(P_i\) semble confondu avec celui de la fonction.

  4. Positions relatives (et justification) du graphe de la fonction et de celui des différents polynômes \(P_i\) pour \(x<0\) d'une part, pour \(x>0\) d'autre part.

Question

Graphe de \(f\) et de \(P_1\)

\(\ln~(x)=x+x~\epsilon(x)\)

\(P_1(x)=x\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction \(\ln{(1+x)}\) n'admet pas de symétrie, le graphe \(P1\) en admet une dans l'intervalle \(]-\infty ; +\infty[\).

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P1\) semble confondu avec le graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) en \([-0.2 ; +0.2]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) dans l'intervalle \(]- \infty ; -0.2]\) puis dans l'intervalle \([+0.2 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\) et de \(P_2\)

\(\displaystyle{\ln~(x)=x-\frac{1}{2}x^2+x^3\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_2 (x)=x-\frac{1}{2}x^2}\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction \(\ln{(1+x)}\) n'admet pas de symétrie, le graphe \(P2\) non plus.

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P2\) semble confondu avec le graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) en \([-0.36 ; +0.36]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) dans l'intervalle \(]- \infty ; -0.36]\) puis en dessous dans l'intervalle \([+0.36 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), de \(P_2\) et de \(P_3\)

\(\displaystyle{\ln(x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+x^4\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_3(x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3}\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction \(\ln{(1+x)}\) n'admet pas de symétrie, le graphe \(P3\) non plus.

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P3\) semble confondu avec le graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) en \([-0.63 ; +0.63]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) dans l'intervalle \(]- \infty ; -0.63]\) puis dans l'intervalle \([+0.63 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), de \(P_2\), \(P_3\) et de \(P_4\)

\(\displaystyle{\ln~(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+x^5\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_4(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4}\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction \(\ln{(1+x)}\) n'admet pas de symétrie, le graphe \(P4\) non plus.

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P4\) semble confondu avec le graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) en \([-0.5 ; +0.5]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au dessus du graphe de la fonction \(\ln{(1+x)}\) dans l'intervalle \(]-\infty ; -0.5]\) puis en dessous dans l'intervalle \([+0.5 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.