sh(x)

Partie

Graphe de \(f(x)=\textrm{sh }(x)\)

On répondra, pour chaque énoncé, aux questions suivantes :

  1. Symétrie ou non du graphe. Intervalle de représentation.

  2. Graphes distincts ou non. Lien entre ces deux questions.

  3. Intervalle où le graphe du polynôme \(P_i\) semble confondu avec celui de la fonction.

  4. Positions relatives (et justification) du graphe de la fonction et de celui des différents polynômes \(P_i\) pour \(x<0\) d'une part, pour \(x>0\) d'autre part.

Question

Graphe de \(f\) et de \(P_1\)

\(\textrm{sh }(x)=x+x^2\epsilon(x)\)

\(P_1(x)=x\)

Solution détaillée

  1. Le graphe représentant la fonction \(\textrm{sh}\) admet une symétrie, le graphe \(P1\) en admet une aussi en \(]-\infty ; +\infty[\).

  2. Nous pouvons voir que les graphes sont distincts.

  3. Le graphe du polynôme \(P1\) semble confondu avec le graphe de la fonction \(\textrm{sh}\) en \([-0.6 ; +0.6]\).

  4. Nous pouvons voir que le graphe du polynôme est au-dessus du graphe de la fonction \(\textrm{sh}\) dans l'intervalle \(]- \infty ; -0.6]\) puis en-dessous dans l'intervalle \([+0.6 ; +\infty[\) ; entre temps, ils semblent confondus.

Question

Graphe de \(f\) et de \(P_2\)

\(\textrm{sh }(x) = x + x^{3}~\epsilon(x)\)

\(P_{2}x = x\)

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), de \(P_2\) et de \(P_3\)

\(\displaystyle{\textrm{sh }(x)=x+\frac{1}{6}x^3+x^4\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_3(x)=x+\frac{1}{6}x^3}\)

Question

Graphe de \(f\), de \(P_1\), de \(P_2\), \(P_3\) et de \(P_4\)

\(\displaystyle{\textrm{sh }(x)=x+\frac{1}{6}x^3+x^5\epsilon(x)}\)

\(\displaystyle{P_4(x)=x+\frac{1}{6}x^3}\)