Exercice 3
Partie
Question
Les textes d'exercices suivants comportent une erreur. Trouvez la.
Déterminez les développements limités à l'ordre 4 au voisinage de l'origine des fonctions \(x\mapsto \ln{\cos {x}}\) et \(x\mapsto \ln{\sin {x}}\).
Le développement limité à l'ordre 6 au voisinage de l'origine de la fonction \(f\) est \(1 + 3x + 7x^2 = 9x^4 - x^5 + x^6 \epsilon (x)\) où \(\lim{x→0}\) \(\epsilon (x) = 0\). Déterminez le développement limité de la fonction \(f_0\) à l'ordre 5 au voisinage de l'origine.
On considère la fonction \(f\) définie par
\(f(x) = x^3 \sin\left(\frac1x\right)\) si \(x ¹ 0\) et \(f(0) = 0\).
Déterminez le développement limité de la fonction \(f\) à l'ordre 3 au voisinage de l'origine.
Rappel de cours
Voici la définition des développements limités.
Définition 1
Soit \(f\) définie sur un voisinage pointé de \(0\), noté \(V* (0)\). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en 0, si
il existe un polynôme \(P_n (x)\) de degré inférieur ou égal à \(n\) ;
il existe une fonction \(e\) définie sur \(V*(0)\), vérifiant\( lim_{x → 0}\) \(\epsilon (x) = 0\), tels que :
\(f (x) = Pn (x) + x n \epsilon (x)\) ;
\(P_n\) est appelé partie principale, et \(x^n \epsilon (x)\) reste, du développement limité.
Comment peut-on reconnaître l'ordre d'un développement limité donné ? Ce n'est pas en regardant le degré du polynôme, car la connaissance de \(p ≤ n\) ne permet pas de connaître \(n\)... C'est en regardant l'exposant de \(x\) dans le reste \(x^n \epsilon (x)\) ; et c'est pour cela que l'écriture correcte du reste est essentielle.
Par exemple \(2 + 3 x - 7 x^3 + x^5 \epsilon (x)\) (il est sous-entendu que \(\lim_{x → 0}\) \(\epsilon (x) = 0\) ) est un développement limité à l'ordre 5 (et non pas à l'ordre 3).
Solution détaillée
La fonction\( x → \ln{\sin {x}}\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers 0 et n'a donc pas de développement limité.
Si on connaît le développement de \(f\) on ne peut pas en déduire le développement de \(f'\)
\(\frac{f(x)}{x^3} = sin(\frac1x)\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers 0 et \(f\) ne peut avoir un développement limité à l'ordre 3.