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Introduction

L'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille donnée de vecteurs est un sous-espace vectoriel. C'est donc une façon de construire des espaces vectoriels à l'aide de la notion fondamentale de combinaison linéaire. Cela rejoint le problème de la détermination du plus petit sous-espace vectoriel contenant une partie donnée d'un espace vectoriel. Cette notion de "plus petit" est définie pour la relation d'inclusion ; elle est liée à l'intersection.

Ce que vous devez savoir avant d'aborder cette ressource :

  • Indispensable :

    • Définition d'un sous-espace vectoriel

    • Notion de combinaison linéaire.

  • Utile : La théorie des ensembles et en particulier la relation d'ordre donnée par l'inclusion et l'opération d'intersection de sous-ensembles.

Ce que vous allez apprendre, améliorer ou tester dans cette ressource : Construire le plus petit sous-espace vectoriel contenant une partie donnée à l'aide soit de la notion de combinaison linéaire soit de l'opération d'intersection.

Ce que vous devez savoir faire à la fin de la ressource : Reconnaître un sous-espace défini par générateurs ou défini par intersection de plusieurs sous-espaces.

Ce qui vous est proposé :

  • La définition d'un sous-espace engendré par une partie finie à l'aide de la notion de combinaison linéaire ; puis la généralisation à une partie quelconque.

  • La structure d'espace vectoriel de l'intersection de deux sous-espaces puis d'une famille quelconque de sous-espaces.

  • La liaison entre ces deux sujets.

  • Une méthodologie pour démontrer qu'un ensemble est muni d'une structure d'espace vectoriel.

Temps prévu : 30 mn

Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler l'ensemble des définitions et exemples.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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