Introduction
L'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille donnée de vecteurs est un sous-espace vectoriel. C'est donc une façon de construire des espaces vectoriels à l'aide de la notion fondamentale de combinaison linéaire. Cela rejoint le problème de la détermination du plus petit sous-espace vectoriel contenant une partie donnée d'un espace vectoriel. Cette notion de "plus petit" est définie pour la relation d'inclusion ; elle est liée à l'intersection.
Ce que vous devez savoir avant d'aborder cette ressource :
Indispensable :
Définition d'un sous-espace vectoriel
Notion de combinaison linéaire.
Utile : La théorie des ensembles et en particulier la relation d'ordre donnée par l'inclusion et l'opération d'intersection de sous-ensembles.
Ce que vous allez apprendre, améliorer ou tester dans cette ressource : Construire le plus petit sous-espace vectoriel contenant une partie donnée à l'aide soit de la notion de combinaison linéaire soit de l'opération d'intersection.
Ce que vous devez savoir faire à la fin de la ressource : Reconnaître un sous-espace défini par générateurs ou défini par intersection de plusieurs sous-espaces.
Ce qui vous est proposé :
La définition d'un sous-espace engendré par une partie finie à l'aide de la notion de combinaison linéaire ; puis la généralisation à une partie quelconque.
La structure d'espace vectoriel de l'intersection de deux sous-espaces puis d'une famille quelconque de sous-espaces.
La liaison entre ces deux sujets.
Une méthodologie pour démontrer qu'un ensemble est muni d'une structure d'espace vectoriel.
Temps prévu : 30 mn
Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler l'ensemble des définitions et exemples.