Méthodologie et exemples
Méthode : Méthodologie
Pour répondre à une question du type " le sous-ensemble \(F\) de l'espace vectoriel \(E\) est-il un sous-espace vectoriel de \(E\)? ", il est judicieux de vérifier que \(0_E\) appartient à \(F\) :
Si \(0_E\) appartient à \(F\), cela prouve que \(F\) est non vide et on peut poursuivre en étudiant la stabilité de \(F\) pour les lois de \(E\).
Sinon on peut alors affirmer que \(F\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).
Pour montrer qu'un ensemble \(F\) est un espace vectoriel sur \(\mathbf K\), on peut chercher un espace vectoriel \(E\) qui contient \(F\), puis prouver que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Exemple : Exemples immédiats
L'ensemble \(F\) défini par \(F = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 / x= 0 \}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^2\).
L'ensemble \(F\) défini par \(F = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 / y= 2 \}\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^2\)
L'ensemble des fonctions continues sur \(\mathbb R\) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
L'ensemble des suites réelles convergentes est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles.