Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Dans l'exemple 2 précédent : \(F' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 , x = 0\}\) et \(G' = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 , y = 0\}\)
(ce qui entraîne \(F' + G' = \mathbb R^3\)) un élément quelconque \(u = (x, y, z)\) de \(\mathbb R^3 = F' + G'\) peut s'écrire comme somme d'un élément de \(F'\) et d'un élément de \(G'\) de plusieurs manières, par exemple :
\(\begin{array}{llcccc}&u = (0,y,z) + (x,0,0)& \textrm{avec}& (0,y,z) \in F'& \textrm{et}& (x,0,0) \in G'\\\textrm{ou bien} :& u = (0,y,0) + (x,0,z)& \textrm{avec}& (0,y,0) \in F'& \textrm{et}& (x,0,z) \in G'\\\textrm{ou encore} :& u = (0,y,2z) + (x,0,-z)& \textrm{avec}& (0,y,2z) \in F'& \textrm{et}& (x,0,-z) \in G'\end{array}\)
L'écriture de \(u\) comme somme d'un élément de \(F'\) et d'un élément de \(G'\) n'est pas unique
Par contre, dans l'exemple 1 : \(F = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 , y = z = 0\}\) et \(G = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 , x = z=0\}\), un élément quelconque \(u = (x,y,0)\) de \(F+G\) ne peut s'écrire que d'une manière unique comme somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\), à savoir :
\(u = (x,0,0) + (0,y,0)\)
Définition : Définition de la somme directe de deux sous-espaces
Etant donnés deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(E\), la somme \(F + G\) des sous-espaces \(F\) et \(G\) est dite directe et s'écrit \(F \oplus G\) si et seulement si tout élément de \(F + G\) s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\).
La somme \(F \oplus G\) est appelée somme directe de \(F\) et \(G\).
Remarque :
On dit que l'élément \(u\) de \(F + G\) s'écrit d'une manière unique comme somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\) lorsque la propriété suivante est vérifiée :
l'élément \(u\) de \(F + G\) n'est égal à la fois à \(v + w\) et à \(v' + w'\) ( où \(v\) et \(v'\) sont des éléments de \(F\), \(w\) et \(w'\) des éléments de \(G\)) que dans le cas où \(v = v'\) et \(w = w'\) :
\(u = v + w\) et \(u = v' + w' \Rightarrow v = v'\) et \(w = w'\)
Propriété : Propriété caractéristique
Une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) soit directe est que l'intersection de \(F\) et de \(G\) soit réduite au vecteur nul.
\(F + G = F \oplus G \Leftrightarrow F \cap G = \{ 0 \}\)
Preuve :
Supposons que \(F + G = F \oplus G\).
Si \(u\) est un élément quelconque de \(F \cap G\) alors \(u\) peut s'écrire des deux manières suivantes, comme somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\) :
\(u = 0+u\) et \(u = u + 0\)
L'élément \(u\) étant un élément de \(F \cap G\), est donc un élément de \(F + G\); d'après l'unicité de l'écriture d'un élément de \(F + G\), cela entraîne : \(u = 0\). Donc \(F \cap G = \{ 0 \}\)
Réciproquement supposons \(F \cap G = \{ 0 \}\).
Soit \(u\) un élément de \(F + G\). Si u s'écrit de deux manières comme la somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G : u = v + w\) et \(u = v' = w'\), où \(v\) et \(v'\) sont des éléments de \(F\) et \(w\) et \(w'\) des éléments de \(G\), alors \(v - v' = w' - w\); mais \(v - v'\) est un élément de \(F\) et \(w' - w\) est un élément de \(G\) (puisque \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels) donc \(v - v' = w' - w\) est un élément de \(F \cap G\), c'est donc l'élément nul, donc \(v = v'\) et \(w = w'\).
L'écriture de u comme somme d'un élément de \(F\) et d'un élément de \(G\) est donc unique.