Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

La notion de somme directe de deux sous-espaces vectoriels d'un vectoriel se généralise au cas de plusieurs sous-espaces.

Définition : Définition de la somme directe de n sous-espaces vectoriels

La somme de sous-espaces vectoriels d'un vectoriel est directe si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de .

Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :

La somme directe de est notée :

Complément

La notation signifie : il existe un unique.

Exemple

Soit dans les trois sous-espaces vectoriels et , engendrés respectivement par et . Alors tout élément de la somme s'écrit sous la forme

donc

Si s'écrivait aussi , alors .

Mais dans

donc l'écriture d'un élément de comme somme d'éléments de et est unique :

Propriété : Propriété caractéristique

La somme de sous-espaces vectoriels d'un vectoriel est directe si et seulement si, pour tout entier compris entre et , la somme est la somme directe de et de .

Il est équivalent de dire d'après le théorème sur la somme directe de deux sous-espaces vectoriels :

Théorème

La somme de sous-espaces vectoriels d'un vectoriel est directe si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :

Preuve : Preuve de la propriété caractéristique

a)Supposons que la somme est directe et montrons que

Soit un entier compris entre et , et un élément de  :

donc

avec ;

or s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de ,

donc .

b) Réciproquement, on veut démontrer que la propriété :

implique la propriété :

"la somme est directe",

il est équivalent de démontrer que (non ) implique (non ).

Supposons que la somme n'est pas directe.

Il existe alors un élément appartenant à admettant deux décompositions distinctes en somme d'éléments de ,

c'est à dire :

et

tels que

Soit le plus grand entier compris entre 1 et tel que alors

implique

donc et donc

Ceci est bien la propriété (non ).

Remarque

Si est une somme directe alors la propriété suivante est vérifiée :

Mais cette condition (qui est nécessaire) pour que la somme soit directe n'est pas suffisante. En effet considérons le contre exemple suivant :

Exemple : Contre exemple

Dans l'espace vectoriel , soit le sous-espace vectoriel engendré par , le sous-espace vectoriel engendré par et le sous-espace vectoriel engendré par .

Il est immédiat que , et , et pourtant la somme n'est pas directe.

En effet l'élément de se décompose en somme d'éléments de et de la manière suivante :

mais aussi de la manière suivante :

donc il n'y a pas unicité de l'écriture.

Attention

Dans le cas de plusieurs sous-espaces vectoriels, le fait que les sous-espaces aient deux à deux une intersection réduite au vecteur nul n'est pas une condition suffisante pour que la somme soit directe.

Légende :
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