Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

La notion de somme directe de deux sous-espaces vectoriels d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) se généralise au cas de plusieurs sous-espaces.

DéfinitionDéfinition de la somme directe de n sous-espaces vectoriels

La somme de \(n\) sous-espaces vectoriels \(F_1, F_2, ... , F_n\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) est directe si et seulement si tout élément de \(F_1+ F_2+ ... +F_n\) s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de \(F_1, F_2, ... , F_n\).

Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :

\(\forall x \in F_1 + F_2 + ... + F_n, \exists ! (x_1, x_2, ... , x_n) \in F_1 \times F_2 \times ... \times F_n,\)

\(x = x_1 + x_2 + ... + x_n\)

La somme directe de \(F_1, F_2, ... , F_n\) est notée : \(F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_n\)

Complément

La notation \(\exists !\) signifie : il existe un unique.

Exemple

Soit dans \(\mathbb R^4\) les trois sous-espaces vectoriels \(F, G\) et\( H\), engendrés respectivement par \((1,0,0,0), (0,1,0,0)\) et \((0,0,1,0)\). Alors tout élément \(u\) de la somme \(F + G + H\) s'écrit sous la forme

\(u = \alpha(1,0,0,0) + \beta(0,1,0,0)+ \gamma(0,0,1,0)\) donc \(u = (\alpha , \beta , \gamma, 0)\)

Si \(u\) s'écrivait aussi \(u = \alpha'(1,0,0,0) + \beta'(0,1,0,0) + \gamma'(0,0,1,0)\), alors \(u = (\alpha', \beta', \gamma',0)\).

Mais dans \(\mathbb R^4 : (\alpha, \beta, \gamma,0) = (\alpha', \beta', \gamma',0) \Rightarrow \alpha = \alpha', \beta = \beta', \gamma = \gamma'\)

donc l'écriture d'un élément de \(F + G + H\) comme somme d'éléments de \(F, G\) et \(H\) est unique :

\(F + G + H = F \oplus G \oplus H\)

PropriétéPropriété caractéristique

La somme de \(n\) sous-espaces vectoriels \(F_1, F_2, ... , F_n\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) est directe si et seulement si, pour tout entier \(p\) compris entre \(2\) et \(n\), la somme \(F_1, F_2, ... , F_p\) est la somme directe de \(F_1, F_2, ... , F_{p-1}\) et de \(F_p\).

Il est équivalent de dire d'après le théorème sur la somme directe de deux sous-espaces vectoriels :

Théorème

La somme de \(n\) sous-espaces vectoriels \(F_1, F_2, ... , F_n\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) est directe si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :

\(\forall p \in \mathbb{N}, 2 \leq p \leq n, (F_1 + F_2 + ... + F_{p-1}) \cap F_p = \{0\}\)

PreuvePreuve de la propriété caractéristique

a)Supposons que la somme \(F_1, F_2, ... , F_n\) est directe et montrons que

\(\forall p \in \mathbb N, 2 \leq p \leq n, (F_1, F_2, ... , F_{p-1}) \cap F_p = {0}\)

Soit \(p\) un entier compris entre \(2\) et \(n\), et \(z\) un élément de \((F_1, F_2, ... , F_{p-1}) \cap F_p\) :

\(\exists (z_1, z_2, ... , z_{p-1}) \in F_1 \times F_2 \times ... \times F_{p-1}, z = z_1 + z_2 + ... + z_{p-1}\)

donc \(0 = z_1 + z_2 + ... + z_{p-1} - z\)

avec \((z_1, z_2, ... , z_{p-1}) \in F_1  \times F_2 \times ... \times F_{p-1} \mathrm{ et } z \in F_p\);

or \(0\) s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de \(F_1, F_2, ... , F_n\),

donc \(z_1 = z_2 = ... = z_{p -1} = z = 0\).

b) Réciproquement, on veut démontrer que la propriété \((P)\) :

\(" \exists p \in \mathbf{N}, 2 \leq p \leq n, (F_1 + F_2 + ... + F_{p-1}) \cap F_p = \{0 \}"\)

implique la propriété \((Q)\) :

"la somme \(F_1 + F_2 + ... + F_{n}\) est directe",

il est équivalent de démontrer que (non\(Q\)) implique (non\(P\)).

Supposons que la somme \(F_1 + F_2 + ... + F_{n}\) n'est pas directe.

Il existe alors un élément \(z\) appartenant à \(F_1 + F_2 + ... + F_{n}\) admettant deux décompositions distinctes en somme d'éléments de \(F_1 + F_2 + ... + F_{n}\),

c'est à dire :

\(\exists (z_1, z_2, ... , z_n) \in F_1 \times F_2 \times ... \times, z = z_1 + z_2 + ... + z_n\)

et

\(\exists (z'_1, z'_2, ... , z'_n) \in F_1 \times F_2 \times ... \times, z = z'_1 + z'_2 + ... + z'_n\)

tels que \((z_1, z_2, ... , z_n) \neq (z'_1, z'_2, ... , z'_n)\)

Soit \(q\) le plus grand entier compris entre 1 et \(n\) tel que \(z_q \neq z'_q\) alors

\(z_1, z_2, ... , z_n = z'_1, z'_2, ... , z'_n\) implique \((z_1 - z'_1) + (z_2 - z'_2) + ... + (z_{q-1} - z'_{q-1}) = z'_q - z_q\)

donc \(z'_q - z_q \in (F_1 + F_2 + ... + F_{q-1}) \cap F_q\) et donc \((F_1 + F_2 + ... + F_{q-1}) \cap F_q \neq {0}\)

Ceci est bien la propriété (non\(Q\)).

Remarque

Si \(F_1 + F_2 + ... + F_n\) est une somme directe alors la propriété suivante est vérifiée :

\(\forall p \in \mathbb{N}, 1 \leq p \leq n,\forall q \in \mathbb{N}, 1 \leq q \leq n,p \neq q : F_p\cap F_q = \{0\}\)

Mais cette condition (qui est nécessaire) pour que la somme soit directe n'est pas suffisante. En effet considérons le contre exemple suivant :

ExempleContre exemple

Dans l'espace vectoriel \(\mathbb R^2\), soit \(F\) le sous-espace vectoriel engendré par \((1,0)\), \(G\) le sous-espace vectoriel engendré par \((0,1)\) et \(H\) le sous-espace vectoriel engendré par \((1,1)\).

Il est immédiat que \(F \cap G = \{0\}\) , \(G\cap H = \{0\}\) et \(F \cap H = \{0\}\), et pourtant la somme \(F + G + H\) n'est pas directe.

En effet l'élément \((1,1)\) de \(F + G + H\) se décompose en somme d'éléments de \(F, G\) et \(H\) de la manière suivante :

\((1,1) = (0,0) + (0,0) + (1,1)\)

mais aussi de la manière suivante :

\((1,1) = (1,0) + (0,1) + (0,0)\)

donc il n'y a pas unicité de l'écriture.

Attention

Dans le cas de plusieurs sous-espaces vectoriels, le fait que les sous-espaces aient deux à deux une intersection réduite au vecteur nul n'est pas une condition suffisante pour que la somme soit directe.