Exemple dans R3
Exemple : Exemple 1

Déterminons dans le cas où et sont les sous-espaces vectoriels de suivants :

et

Un élément de s'écrit est un élément de et un élément de ; donc il existe deux nombres réels et tels que et : donc .

Réciproquement un tel élément est la somme de et de .

Donc

Exemple : Exemple 2

Soient et les deux sous-espaces vectoriels de suivants :

et

Dans cet exemple, montrons que .

Par définition de , tout élément de est contenu dans .

Mais réciproquement si est un élément quelconque de  :

,

donc appartient à

Dans l'exemple 1 précédent, la somme est une somme directe, mais elle n'est pas l'espace vectoriel tout entier.

Dans l'exemple 2, et vérifient bien mais leur somme n'est pas directe.

Les sous-espaces et ne sont pas des sous-espaces vectoriels supplémentaires, et non plus.

Soient les sous-espaces vectoriels et de suivants :

et

Les sous-espaces vectoriels et sont des sous-espaces de supplémentaires.

Preuve

1) Il est immédiat de vérifier que

En effet si l'élément appartient à l'intersection de et de , alors les coordonnées de vérifient : (car appartient à ), et (car appartient à ), donc et .

2) Il reste à démontrer que .

Soit donc un élément quelconque de ; il faut déterminer des éléments de et de dont la somme soit égale à .

L'élément doit être tel que avec et l'élément tel que avec .

Comme , les coordonnées de ces éléments doivent vérifier :

((puisque ), (puisque ),

et donc ,

d'où et donc et .

Ces conditions nécessaires sur et sont aussi suffisantes puisque tout élément de vérifie :

et .

Remarque

La vérification du 1) était inutile puisque la recherche de et de montre leur unicité. Mais lorsqu'on ne sait pas si la somme est directe ou ne l'est pas, il est souvent plus facile de commencer par vérifier si l'intersection est nulle ou ne l'est pas.

Légende :
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S'exercer
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