Exemple dans l'espace des fonctions
Soit l'espace vectoriel \(\mathcal{F}( \mathbb R, \mathbb R)\) des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
Le sous-espace vectoriel \(\mathcal{P}\) des fonctions paires et le sous-espace vectoriel \(\mathcal{J}\) des fonctions impaires sont des sous-espaces supplémentaires.
\(\mathcal{F}( \mathbb R, \mathbb R) = \mathcal{P} \oplus \mathcal{J}\)
Preuve :
Si \(f\) est une fonction quelconque de \(\mathcal{F}( \mathbb R, \mathbb R)\), il faut déterminer une fonction paire \(g\) et une fonction impaire \(h\) dont la somme soit égale à \(f\).
Les fonctions \(g\) et \(h\) doivent vérifier : \(\forall x \in \mathbb R, g(-x) = g(x)\) et \(h(-x) = -h(x)\)
Comme \(f\) doit vérifier pour tout \(x : f(x) = g(x) + h(x) \) \((*)\),
elle vérifie aussi : \(f(-x) = g(-x) + h(-x) = g(x) - h(x)\) \((**)\)
Des égalités (*) et (**) découlent les expressions de \(g\) et \(h\) suivantes :
\(g(x) = \frac {1}{2} (f(x) + f(-x))\) et \(h(x) = \frac{1}{2}(f(x) - f(-x))\)
Ceci démontre que les seules fonctions \(g\) et \(h\) avec \(g\) paire et \(h\) impaire telles que \(f = g + h\) sont celles qui précèdent.
Réciproquement il est facile de vérifier que pour toute fonction \(f\), la fonction \(g\) définie pour tout élément \(x\) de \(\mathbb R\) par " \(g(x) = \frac {1}{2} (f(x) + f(-x))\)" est paire et que la fonction \(h\) définie pour tout élément \(x\) de \(\mathbb R\) par " \(h(x) = \frac{1}{2}(f(x) - f(-x))\) " est impaire et que \(f = g + h\).
Ceci démontre que toute fonction s'écrit d'une manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.