Exemple dans l'espace des fonctions

Soit l'espace vectoriel des fonctions de dans .

Le sous-espace vectoriel des fonctions paires et le sous-espace vectoriel des fonctions impaires sont des sous-espaces supplémentaires.

Preuve

Si est une fonction quelconque de , il faut déterminer une fonction paire et une fonction impaire dont la somme soit égale à .

Les fonctions et doivent vérifier : et

Comme doit vérifier pour tout ,

elle vérifie aussi :

Des égalités (*) et (**) découlent les expressions de et suivantes :

et

Ceci démontre que les seules fonctions et avec paire et impaire telles que sont celles qui précèdent.

Réciproquement il est facile de vérifier que pour toute fonction , la fonction définie pour tout élément de par " " est paire et que la fonction définie pour tout élément de par " " est impaire et que .

Ceci démontre que toute fonction s'écrit d'une manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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