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Théorème de structure - Notation

Pour tout entier , le produit cartésien de vectoriels peut être muni, comme dans le cas , de deux lois de composition, induites par celles des espaces vectoriels.

Théorème : Théorème de structure

Si sont des espaces vectoriels sur le même corps , le produit cartésien , muni de la loi interne + définie par :

et de la loi externe de domaine d'opérateurs , définie pour tout élément de par :

est un vectoriel, appelé espace vectoriel produit des , .

La démonstration est semblable à celle du cas , les propriétés des lois définies sur le produit cartésien découlent des propriétés des lois définies sur chaque espace vectoriel , .

L'élément neutre de la loi interne est le dont la composante est l'élément neutre de , soit .

Le symétrique de l'élément de est , où est le symétrique de dans .

Notation

Dans le cas particulier où tous les sont égaux à l'espace vectoriel , l'espace vectoriel produit est noté : (Exemple : le vectoriel ).

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