Théorème de structure - Notation
Pour tout entier \(n > 2\), le produit cartésien de \(n\) \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels peut être muni, comme dans le cas \(n = 2\), de deux lois de composition, induites par celles des espaces vectoriels.
Théorème : Théorème de structure
Si \(E_1, E_2, ... , E_n\) sont des espaces vectoriels sur le même corps \(\mathbf K\), le produit cartésien \(\displaystyle{ \prod_{p=1}^{p=n} } E_p = E_1 \times E_2\times ... \times E_n\), muni de la loi interne + définie par :
\((x_1, x_2, ... , x_n) + (y_1, y_2, ... , y_n) := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, ... , x_n + y_n)\)
et de la loi externe de domaine d'opérateurs \(\mathbf K\), définie pour tout élément \(\lambda\) de \(\mathbf K\) par :
\(\lambda (x_1, x_2, ... , x_n) := (\lambda x_1,\lambda x_2, ... , \lambda x_n)\)
est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, appelé espace vectoriel produit des \(E_p\), \(1 \le p \le n\).
La démonstration est semblable à celle du cas \(n = 2\), les propriétés des lois définies sur le produit cartésien découlent des propriétés des lois définies sur chaque espace vectoriel \(E_p\), \(1 \le p \le n\).
L'élément neutre de la loi interne est le \(n\textrm{-uplet}\) dont la \(p\textrm{-i\`eme}\) composante est l'élément neutre de \(E_p\), soit \((0_{E_1}, 0_{E_2}, ... , 0_{E_n})\).
Le symétrique de l'élément \((x_1, x_2, ... , x_n)\) de \(E_1 \times E_2 \times ... \times E_n\) est \((-x_1, -x_2, ... , -x_n)\), où \(- x_p\) est le symétrique de \(x_p\) dans \(E_p\).
Notation
Dans le cas particulier où tous les \(E_p\) sont égaux à l'espace vectoriel \(E\), l'espace vectoriel produit est noté : \(E^n\) (Exemple : le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb{R}^n\)).