Structure d'espace vectoriel

Soit un ensemble et un vectoriel, et soit l'ensemble des applications de dans . L'ensemble peut être muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe de domaine d'opérateurs de la manière suivante :

Définition : Définition de la loi interne +

Soit et deux éléments de , à tout élément de on peut faire correspondre l'élément de .

On définit ainsi une application de dans qu'on notera  :

Définition : Définition de la loi externe

Soit un élément de , et un élément de , à tout élément de on peut faire correspondre l'élément de .

On définit ainsi une application de dans qu'on notera  :

Remarque

Ces deux définitions se réfèrent aux lois de composition définies sur ; l'ensemble par contre est un ensemble quelconque, pouvant être dépourvu de toute structure algébrique.

Théorème : Théorème de structure

L'ensemble des applications de l'ensemble dans le vectoriel , muni des deux lois définies précédemment, est un vectoriel.

La démonstration des huit axiomes des espaces vectoriels découle des axiomes vérifiés par les lois de composition du vectoriel .

L'élément neutre de la loi interne est l'application de dans définie par :

, c'est la fonction nulle.

Le symétrique d'un élément de est l'application de dans définie par :

, elle est notée .

Légende :
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