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Sous-espaces vectoriels
Le test comporte 3 questions :
Reconnaître un sous-espace vectoriel de K^n
Reconnaître un sous-espace vectoriel de fonctions
Reconnaître un sous-espace de suites
La durée indicative du test est de 30 minutes.
Commencer
Reconnaître un sous-espace vectoriel de K^n

Les parties suivantes de sont-elles des sous-espaces vectoriels de :

Reconnaître un sous-espace vectoriel de fonctions

On considère l'espace vectoriel des fonctions de dans .

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de ?

Reconnaître un sous-espace de suites

Soit l'espace vectoriel des suites réelles.

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de ?

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Reconnaître un sous-espace vectoriel de K^n

Barème : 6pts pour , 2pts pour et 2pts pour .

La partie est un sous-espace vectoriel de , car

  • est non vide car l'élément appartient à ,

  • et est stable par combinaison linéaire.

En effet, soient et des éléments de (donc leurs coordonnées

vérifient et ),

et soient et deux réels, alors le vecteur a ses coordonnées qui vérifient , donc il appartient bien à .

Les parties et ne sont pas des sous-espaces vectoriels de , car l'élément nul n'appartient à aucun d'eux, or un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel contient nécessairement le vecteur nul.

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Reconnaître un sous-espace vectoriel de fonctions

Barème : 2pts pour , , et 4pts pour .

Les parties , et contiennent la fonction nulle, donc ne sont pas vides.

Les parties , sont des sous-espaces vectoriels de car elles sont stables par addition et multiplication par un scalaire, ceci d'après les propriétés des fonctions continues et des fonctions dérivables.

La partie est aussi un sous-espace vectoriel.

En effet, soient et dans , et un scalaire de , alors et ,

donc et , ce qui entraîne que et sont des éléments de .

Par contre n'est pas un sous-espace vectoriel de , car la fonction nulle n'appartient pas à , or un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel contient nécessairement le vecteur nul.

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Reconnaître un sous-espace de suites

La partie n'est pas vide, car elle contient la suite dont tous les termes sont nuls.

De plus, si et sont des éléments de , et si on note

la suite , alors , d'où appartient à ;

et si est un scalaire réel, la suite a pour terme d'indice 0 le réel , donc appartient à .

Donc est stable par addition et multiplication par un scalaire, c'est un sous-espace vectoriel de .

D'après les propriétés des suites convergentes, la partie (non vide) est stable par addition et multiplication par un scalaire, donc elle est un sous-espace vectoriel de .

Les parties , et ne sont pas des sous-espaces vectoriels de , car la suite dont tous les termes sont nuls, qui est le zéro de l'espace , n'appartient ni à , ni à , ni à , or un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel contient nécessairement le vecteur nul.

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :20
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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