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Généralités sur les espaces vectoriels
Le test comporte 3 questions :
Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (1)
Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (2)
Manipuler les combinaisons linéaires
La durée indicative du test est de 30 minutes.
Commencer
Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (1)

Dans l'ensemble des fonctions de dans , on conserve l'addition usuelle où est l'application de dans telle que mais on modifie la multiplication par un scalaire, en posant : .

Montrer que muni de ces deux opérations n'est pas un espace vectoriel en raison d'un seul axiome non vérifié.

Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (2)

On définit sur , non pas les opérations habituelles, mais une addition et une multiplication par un scalaire réel, de la manière suivante :

Premier cas : ;

Deuxième cas : ;

Troisième cas : ;

Vérifier, dans chacun des cas, si , muni de ces opérations, est un vectoriel.

Manipuler les combinaisons linéaires

On considère le vectoriel .

Déterminer les réels et pour que le vecteur soit combinaison linéaire

des vecteurs et .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (1)

Puisque l'addition est celle utilisée habituellement dans cet ensemble de fonctions, elle vérifie bien les quatre propriétés suivantes :

- l'associativité : pour toutes fonctions , , ;

- la commutativité : pour toutes fonctions et ;

- l'existence d'un neutre : , définie par , ;

- l'existence d'un opposé pour toute fonction : est la fonction .

La multiplication par un scalaire définie ici vérifie encore les propriétés :

- le scalaire est tel que puisque ;

- l'associativité car et sont égales à la fonction ;

- la distributivité des fonctions car et sont égales à la

fonction .

Par contre la distributivité des scalaires est mise en défaut car est la fonction alors que est la fonction .

Ces deux fonctions sont en général différentes (par exemple en considérant la fonction : , on constate que la fonction , est distincte de la fonction ,

.

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Vérifier la structure d'espace vectoriel à l'aide des axiomes (2)

Barème : 3pts pour le premier cas, 3pts pour le deuxième et 4pts pour le troisième.

Dans les deux premiers cas, l'addition définie sur est celle définie habituellement, donc les axiomes de la loi + sont satisfaits.

Mais on constate ensuite que :

- dans le premier cas, la distributivité des scalaires n'est pas satisfaite : par exemple

n'est pas égal à ;

- dans le deuxième cas, non plus : par exemple

est différent de ;

- dans le troisième cas, l'addition n'est pas commutative :

est distinct de .

Dans aucun de ces cas, n'est un espace vectoriel.

Remarque

pour vérifier que n'est pas un espace vectoriel pour les lois considérées, il suffit de montrer qu'un des axiomes n'est pas satisfait, donc de trouver un exemple mettant en défaut cet axiome.

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Manipuler les combinaisons linéaires

Le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs et si et seulement s'il existe deux réels et tels que , soit , donc si et seulement si le système suivant admet une solution :

Ce système est équivalent au système :

lui-même équivalent au système :

Le système admet une solution si et seulement si et , dans ce cas la solution de est unique, c'est : , , , .

Donc est combinaison linéaire des vecteurs et si et seulement si et . Dans ce cas .

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :19
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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