Constructions

Le vecteur \(V=(3,2,x,y)\) est combinaison linéaire des vecteurs \(V_1=(\mathrm{1,4 },\mathrm{-5,2})\) \(V_2=(\mathrm{1,2 },\mathrm{3,1})\) et si et seulement s'il existe deux réels \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) tels que \(V=\lambda_1V_1+\lambda_2V_2\), soit \((3,2,x,y)=(\lambda_1+\lambda_2, 4\lambda_1+2\lambda_2, -5\lambda_1+3\lambda_2, 2\lambda_1+\lambda_2)\), donc si et seulement si le système \((S)\) suivant admet une solution :

\(\displaystyle{(S)\left\{\begin{array}{rcrcr}\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\4\lambda_1&+&2\lambda_2&=&2\\-5\lambda_1&+&3\lambda_2&=&x\\2\lambda_1&+&\lambda_2&=&y\end{array}\right.}\)

Ce système est équivalent au système :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{rcrcrr}\lambda_1&+&\lambda_2&=&3&\\&-&2\lambda_2&=&-10&L_2\leftarrow L_2-4L_1\\-5\lambda_1&+&3\lambda_2&=&x&\\2\lambda_1&+&\lambda_2&=&y&\end{array}\right.}\)

lui-même équivalent au système :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{rcccr}\lambda_2&=&5&&\\\lambda_1&=&3-5&=&-2\\x&=&-5(-2)+3(5)&=&25\\y&=&2(-2)+5&=&1\end{array}\right.}\)

Le système \((S)\) admet une solution si et seulement si \(x=25\) et \(y=1\), dans ce cas la solution de \((S)\) est unique, c'est : \(x=25\), \(y=1\), \(\lambda_1=-2\), \(\lambda_2=5\).

Donc \(V=(\mathrm{3,2},x,y)\) est combinaison linéaire des vecteurs \(V_1=(\mathrm{1,4 },\mathrm{-5,2})\) et \(V_2=(\mathrm{1,2 },\mathrm{3,1})\) si et seulement si \(x=25\) et \(y=1\). Dans ce cas \(V=-2V_1+5V_2\).